Schatzsuche
Das Rätsel der Hexe
Ich weiß nicht mehr, wer mir diese Geschichte erzählte, und von wem er sie hatte...
Vernehmt meine Worte: Begebt euch von diesem Topf (sie zeigt auf einen Topf neben sich) zu einem entfernten Punkt. Schickt von dort aus einen zu diesem Topf. Wenn er hier angekommen ist, wende er sich nach rechts und gehe noch einmal dieselbe Schrittzahl. Nun schickt einen zweiten zu jenem Topf (sie zeigt auf einen etwas weiter weg liegenden umgestoßenen Topf). Wenn er dort ist, wende er sich nach links und gehe noch einmal die gleiche Schrittzahl wie zuvor. Nun sollen beide aufeinander zu gehen. Dort wo sie sich treffen, ist mein Dank an euch vergraben.Nehmen Sie an, die gute Hexe möchte sich bei den 7 Zwergen für eine gute Tat bedanken und die Töpfe befinden sich auf einem Acker an den Positionen A=(-2| 2) und B=( 3| 1). Über den entfernten Punkt ist nichts ausgesagt. Ist seine Position denn beliebig? Nehmen Sie zunächst einfach an, dieser Punkt C habe die Koordinaten C=( 2 | 3). Arbeiten Sie weiter mit dem GeoGebra-Applet.
Zeichnen Sie den Vektor vom "entfernten Punkt" C zum Punkt B (Topf 2) ein.
Geben Sie dazu in die Eingabezeile (neben dem + Symbol) folgendes ein:
v = Vektor(C,B)
Der zweite Zwerg geht vom entfernten Punkt C auf dem Weg, den der Vektor beschreibt, zum Punkt B, bei dem der umgestoßene Topf liegt. Nun soll er sich nach links wenden und noch einmal die gleiche Strecke gehen. Diese kann durch den Vektor beschrieben werden.
Im Beispiel ist .
Den dazu im rechten Winkel nach links stehenden Vektor erhält man, in dem man die zweite Komponente (hier: -2) mit umgekehrtem Vorzeichen an die erste Stelle setzt, und die erste Komponente mit gleich bleibendem Vorzeichen an die zweite Stelle setzt.
Im Beispiel wird also .
Weil jedoch der entfernte Punkt C auch woanders liegen könnte und deshalb im Applet verschiebbar ist, wird der Vektor nicht mit diesen Koordinaten in die Eingabezeile eingetragen. Stattdessen wird das im Absatz davor beschriebene Verfahren verwendet:
Tragen Sie also folgendes in die Eingabezeile ein:
v' = Vektor( (-y(v) , x(v)) )
Mit y(v) wird die y-Komponente aus herausgeholt und mit x(v) die x-Komponente.
Die Schreibweise (-y(v) , x(v)) stellt einen Punkt dar.
Mit v' = Vektor( ... ) wird dann daraus der Vektor gemacht.
Auf diese Weise bleibt der Vektor stets senkrecht zu , auch wenn die Position vom entfernten Punkt C verändert wird.
Probieren Sie es aus, indem Sie den Punkt C hin und her verschieben!
Der Zwerg erreicht mit dem durch beschriebenen Weg den Punkt Q.
Im GeoGebra-Applet können Sie den Punkt Q sehr einfach über die Eingabezeile eintragen:
Q = B + v'
Falls der Vektor noch in der Zeichnung angezeigt wird, können Sie ihn einfach verbergen, indem Sie auf den zugehörigen ausgefüllten Kreis im Algebra-Fenster (links neben dem Geometrie-Fenster) klicken.
Vektoren sind ja nicht ortsfest gebunden, und hier wäre es der Aufgabe angemessen, den Vektor von Topf 2 (Punkt B) zum Punkt Q darzustellen.
Tragen Sie also folgendes in die Eingabezeile ein:
v'' = Vektor(B, Q)
Für den Weg des ersten Zwergs vom entfernten Punkt C zum Topf 1 (Punkt A) ist der Vektor schon eingezeichnet, und auch der Vektor ist schon da.
Konstruieren Sie den Zielpunkt P für den ersten Zwerg analog zum Punkt Q.
Wenn sich die beiden Zwerge in den Punkten P und Q befinden, sollen sie aufeinander zu gehen, und am Treffpunkt soll der Schatz vergraben sein.
Das heißt doch, dass der Schatz sich genau in der Mitte der Strecke von P nach Q befindet.
Diese Strecke können Sie bei Bedarf durch die Eingabe
s = Strecke(P, Q)
einzeichnen.
Den Mittelpunkt dieser Strecke zeichnen Sie durch folgende Eingabe ein:
S = Mittelpunkt(s)
Beachten Sie die Groß- bzw. Kleinschreibung. S steht für den Punkt, der die Position des Schatzes angibt, s steht für die Strecke von P nach Q.
Zum Schluss können Sie sehen, welche Auswirkung es hat, wenn sich die Zwerge als "entfernten Punkt" nicht C=( 2| 3) ausgesucht hätten. Verschieben Sie diesen Punkt und verfolgen Sie, wie sich die Zeichnung verändert!
Wenn Sie alles richtig gemacht haben, sollte die Postion S des vergrabenen Schatzes sich dabei nicht ändern - dieser Punkt ist bereits durch die Positionen der beiden Töpfe eindeutig festgelegt.