Poincare Disk Modeli
Poincare Disk Modelinin Elde Edilişi
Poincare disk modeli, bir çift taraflı hiperboloidin (burada çift taraflı hiperboloidi dikkate alındı) üst kolu üzerindeki noktaların, düzlemindeki birim disk içerisine projektif izdüşüm ile taşınmasıyla elde edilir.
Bu projektif izdüşüm hiperboloidin üst kolu üzerindeki herhangi bir A noktasını, A ile noktasını birleştiren doğru parçasının düzlemini kestiği A' noktasına taşır. Bu sayede hiperboloid üzerindeki tüm noktalar bahsi geçen birim disk içindeki noktalara taşınmış olur. xOy düzlemindeki bu birim diske Poincare diski adı verilir.
Aşağıdaki uygulamada A noktasını taşıyarak A' noktasının nasıl elde edildiğini inceleyin. Ardından aşağıdaki soruları cevaplamayı deneyin.
Soru-1
Sizce hiperboloid üzerindeki hangi noktalar bu diskin sınırı üzerinde kalır?
Doğru
Düzlemde iki nokta arasındaki en kısa yolu, bir ipi düzlem içerisinde bu iki nokta arasında gergin bir şekilde tutarak elde edebilirsiniz. Bu durum tüm yüzeylere uygulanabilir. Hiperboloid üzerinde alınan herhangi iki noktayı birleştiren en kısa yola hiperbolik doğru diyelim ve yukarıdaki işlemi bu noktalar için hiperboloid üzerinde gerçekleştirelim.
Bu durumda A ve B noktalarından geçen hiperbolik doğru, A, B ve koordinat sisteminin merkezi olan noktasını içeren düzlem ile hiperbolidin kesişimi sonucunda elde edilen eğri olacaktır.
İnceleyin...
Yukarıdaki uygulamada bu hiperbolik doğru ve bunun Poincare diski içerisine izdüşümünü inceleyebilirsiniz.
İnşada taşınabilen yegane nesneler hiperboloid üzerindeki A ve B noktalarıdır. Bunları taşıyarak hem hiperboloid üzerinde hem de Poincare disk modelinde bir hiperbolik doğrunun nasıl göründüğünü inceleyebilirsiniz. Ardından aşağıdaki soruları cevaplamayı deneyiniz.
Soru-1
Sizce bir hiperbolik doğru sonlu mudur? Yani istenildiği kadar uzatılabilir mi?
Soru-2
Poincare disk modelinin sınırı neyi temsil eder?