球面三角法におけるピタゴラスの定理
球面三角法
半径１の球面で大円による三角形を作る。
その三角形の角度が直角の時にピタゴラスの定理にあたる法則が見つかる。
それは、中心と大円の弧のなす３つの角度の間に次の関係が成り立つ。
角Dが直角の時、cos(ε)=cos(α)×cos(β)となることを証明してみよう。スライダーで展開する。
証明
条件から立体に組み合わせた時の△CHIは直角三角形。
∠CHI＝∠π なのでピタゴラスの定理により、CI2=CH2+HI2
つまり、CI2=sin2(α)+cos2(α)sin2(β)
今度は立体に組み合わせた時の△CAIを考える。
CI2＋AI2＝sin2(α)+cos2(α)sin2(β)＋cos2(α)*cos2(β)
＝sin2(α)+cos2(α)
＝１
よってAI⊥AC
つまり AF＝AI ⇒ cos(ε)=cos(α)×cos(β)
これが球面三角法におけるピタゴラスの定理
実際に作ってみた。
