Урок 27. Диана Кубарская.
Задача 1.
Через сторону АD ромба АВСD проведена плоскость альфа, удаленная от ВС на расстояние равное 3sqrt(3) см. Сторона ромба - 12 см, угол ВСD равен 30 градусов. Найдите угол между плоскостью ромба и плоскостью альфа.
Решение
Так как нам нужно выйти на угол FEC, который мы найдем через
Находим длину отрезка EC:
Находим угол между плоскостью ромба и плоскостью :
Ответ: угол между плоскостью ромба и плоскостью равен 60
Задача 2.
Треугольник АСВ - прямоугольный (угол С - прямой), АС=СВ=3 см. Треугольник АМС имеет общую сторону АС с треугольниом АСВ; АМ =СМ=sqrt(6) см. Плоскости треугольников взаимно перпендикулярны.
а) Докажите, что МС перпендикулярен ВС.
б) Найдите угол между МВ и плоскостью ABC.
3* Найдите расстояние от середины АВ - точки Е - до плоскости ВМС.
Решение
1) По условию сказано, что плоскости взаимно перпендикулярны, а значит любая прямая лежащая в первой плоскости будет перпендикулярна любой прямой лежащей во второй плоскости. Из этого следует, что прямая MC перпендикулярна прямой BC.
2) Необходимо найти угол MBN
Так как треугольник MCA является равнобедренным, то ME является высотой треугольника, а также делит основание на две равные части, то есть CN=NA=1,5 (см)
По теореме Пифагора:
BN=
BN=
По теореме Пифагора:
MN=
MN=
3) Проводим прямую параллельную прямой BC через точку E. Прямая BC лежит в плоскости BMC и если параллельная прямая проведенная через точку Е параллельна прямой BC, то эта прямая параллельна плоскости BMC. А значит, что любая точка, находящаяся на этой прямой, равноудалена от плоскости BMC. Точка N лежит на этой прямой и удалена от плоскости BMC ровно настолько же, насколько удалена точка E. Значит EG=NP.
Рассмотрим треугольник MNC. Его площадь можно найти по формуле: , так как это прямоугольный треугольник или можно найти по через высоту NP по формуле: .
Так как это площадь одного и того же треугольника, то мы можем их прировнять и из получившегося уравнения выразить формулу для нахождения длины отрезка NP, а соответственно и EG.
Ответ: прямая MC перпендикулярна прямой BC; угол между MB и плоскостью ABC равен 30; расстояние от середины AB до плоскости BMC равно приблизительно 1.186 см.