Bac-m1 iunie 2020
Subiectul I
1. Arătați că numărul este natural, unde .
Diferenţa de pătrate, nu?
2. Se consideră funcția , unde a este număr real. Determinați numărul real a , știind că f ( x ) + f (1 − x ) = 7 , pentru orice numă r real x .
Asta sună Gymnazliu...
.
3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia: .
Fie . Înlocuind în ecuaţie, obţinem
. Cum u > 0, pentru orice număr real, suntem scutiţi de probleme existenţiale şi trecem tiptil la ecuaţia,
, aka
, sau,
, de unde,
, ori, fără supărare (se c-am vedea de la început),
.
4. Se consideră mulțimea A = { 1,2,3,4,5 } . Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui A , care îl conțin pe 1.
Ei, da' păi cum?! Mulţimea A - {1} = {2, 3, 4, 5} are exact, folosind formula combinărilor , cu n = 4 şi k = 2, obţinem, submulţimi cu două elemente. Adăugând 1 la fiecare dintre aceste mulţimi, obţinem submulţimile cerute în enunţ, prin urmare numărul căutat este 6. (Şase, vine Profu', iar combinările alea arată ... la fix! )
5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul M ( −4, 4 ) . Determinaţi ecuaţia dreptei d care trece prin punctul M și este perpendiculară pe dreapta OM .
La fel cu I.5 - 2018 cu alt punct şi altă dreaptă (vezi aici).
Dacă nu vrei să faci puţină mişcare, Geogebra ne spune că panta dreptei OM este -1 şi pe cale de consecinţă, panta perpendicularei prin M pe OM, trebuie să fie 1 (-1 * 1 +1 = 0) din relaţia pantelor .
Asta înseamnă că ecuaţia perpendicularei pe OM prin M este:
, sau
, sau a la Geogerba,
.
Q.E.S (ce era de săvârşit!)
6. Triunghiul ABC este dreptunghic în A și sin B = cos B . Arătați că triunghiul ABC este isoscel.
Să mai facem figura? O facem, dar întâi să ne destrăbălăm ca-ntra 7a.
.
Egalitatea din enunţ se traduce în egalitetea catetelor, altfel spus , este isoscel în A.
SUBIECTUL al II-lea
1. Se consideră matricea , unde a este număr real.
a) Arătați că det (A(0)) = −1 .
b) Demonstrați că, pentru orice număr real a , matricea A(a) este inversabilă.
c) Determinați numerele întregi a pentru care inversa matricei A(a) are toate elementele numere întregi.
a) . Dacă scădem linia a doua din cea de-a treia, obţinem,
. (Dacă nu vă place aşa, Sarrus vă aşteaptă bucuros!)
b) Matrice pătrată, inversabilă = determinant nenul. Să ne socotim cu acest det.
. Scădem prima coloană din celelalte două şi obţinem, dacă nu facem graşeli de calcul,
, după ce am scăzut prima linie din celelalte şi am dezvoltat după linia a doua. Presupun că cei care citestesc aceste rânduri, ştiu că,
şi pe cale de consecinţă, , ceea ce atrage inversabilitatea matricii A(a), pentru orice a real.
Dacă nu vă mai amintiţi (nici eu, aproape), atunci, , ca pe vremea Babilonului (sîc).
c) E ceva de calcul pentru inversa matricii A(a), avem determinantul, "ar mai fi" minorii de ordin doi ai lui A(a). Hmm! Să vedem ce zice Geo!
a = 0, este o soluţie (singura!?). Nu... , mai vine şi 1 din urmă.
şi prin urmare toate fracţiile devin numere întregi. Să mai fie şi alte posibilităţi?
După cum au arătat babilonienii(!), , pentru a diferit de 1. De unde,
, pentru a diferit de 1, ceea ce face fracţia subunitară şi neputincioasă să se întregească, dacă a > 0.
Pentru a < 0, şi se repetă fenomenul de mai sus.
Ooopsy!
Singurele opţiuni pentru a, rămân 0 şi 1.
2. Pe mulțimea A = [ 1, +∞ ) se definește legea de compoziție .
a) Arătați că 1∗ 2020 = 1 .
. (Înlocuim şi privim!)
b) Demonstrați că .
Îl scoatem pe 8 de sub radical şi desfacem ()-le.
.
c) Determinaţi x ∈ A pentru care x ∗ x = x .
Conform b), avem de rezolvat ecuaţia,
, sau
.
Ecuaţia are o singură soluţie reală, x = 1 ( ∈ A), celelalte două fiind complexe. La fel şi ecuaţia , are soluţia reală şi prin urmare în A .
Pentru cine are dubidubii, funcţia reală, cu valori reale, dată de relaţia , este strict crescătoare, (în fapt bijectivă, artilerie grea!) şi pe cale de "conştiinţă" nu poate lua valoarea 0 decât o dată.
SUBIECTUL al III-lea
1. Se consideră funcţia .
a) Arătați că .
, iar de aici, cu Ceva trudă (Off!), se obţine forma cerută.
b) Determinaţi ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcţiei f .
Asimptota orizontală e dată de ecuaţia
, în cazul curent (axa Ox). (La fel şi la -∞, când e nevoie!)
c) Demonstrați că .
. f' este negativă, pe ( 2, +∞ ) şi drept consecinţă, f este strict descrescătoare de la +∞ în x = 2, la 0 când x se duce la +∞. Iaca poznă, asta vra să zică, f > 0 pe ( 2, +∞ ), de unde cade şi inegalitatea cerută!
2. Se consideră funcţia .
a) Arătați că .
.
b) Arătaţi că că .
.
c) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul . Demonstrați că .
Geo ne spune că n supune la dietă severă suprafaţa a cărei arie o determină . Aşa cum arată, nu am nici-o dee de calcul. De ieri mă tot învârt, după un majorant pentru (dacă nu eşti în examen, îţi permiţi asemenea lux!) şi până la urmă, mi-a picat o fisă (mai mai s-o pierd; bătrâneţile, mamaie).
şi cum valoarea unei fracţii creşte, dacă îi micşorezi numitorul, avem
şi c-am asta a fost!
Sper să fie de ajutor şi spor la trebi!
Bunica (bate toba).