トンネル効果は当然のこと？
このワークシートはMath by Codeの一部です。
これまで、ポテンシャルが絶壁の無限に深い井戸の中のつぶ波、
ポテンシャルが２次関数の調和振動子をみてきました。
どちらも１次元で、しかも、ポテンシャルの壁がありました。
ポテンシャルが丘のようになっているとき、粒子なら超えられえない山を
つぶ波なら波として侵入して通過してしまうというトンネル効果は有名です。
今回は、トンネル効果が何の不思議でもないことを、具体的に数式で確認してみましょう。
１．ポテンシャルとエネルギーの差に目をつけよう
＜ポテンシャルの３領域をバラバラにする＞
つぶ波、例えば電子が左から右に進むとしましょう。
１次元ポテンシャルの３領域をｘ座標で決めます。
V＝
０（ｘ＜０のときが領域１）,
V_0＞０（区間[0,a]のときが領域２）,
０（a＜ｘのときが領域３）
領域１，２はアースされて電子は邪魔がなくすすめますが、領域２で電場で電子を押し返すような
状況ですね。
このように有限なポテンシャルの段差があるとき、階段型ポテンシャルといったりしますね。
ハミルトン演算子^H= 1/(2m) (‐(∂/∂x)2)+ Vです。
つぶ波をφとすると固有方程式は^H φ= E φですね。 1/(2m) ((∂/∂x)2)φ＝ (V - E)φと変形できるね。
領域１，３では、VーE＜０だから、ポテンシャルの壁がないから、波でいられます。
なぜか？
φの2階微分とφの正負が反対だから。φが負ならφの変位の増量が正だから、どんどん増えて、
φが正ならφの変位の減少が負だから、どんどん減り、φは波打つはずだから。
領域１では左から進む波と領域２のぶつかった反射波が合わさります。
領域３では、反射した分などで、エネルギーがへるでしょうが、左から右への波です。
領域２では、V－E＞０だから、反射はなく、波ではなく減衰か増大の指数曲線です。
なぜか？
φの2階微分とφの正負が同じなので、φが正なら加速度的に増加し、φが負なら加速度的に減少するから。
３つの領域で、別々に数式にしてみましょう。
φ１＝A exp(ikx)+ B exp(-ikx)
φ２＝C exp(ijx)+ D exp(-ijx) 反射波はできないからD=0
φ３＝F exp(ikx)
k=sqrt(2mE/）, j= sqrt(2m(E - V_0)/）
＜バラバラな領域をつなぐ＞
境界条件をつけることで、つぶ波の解をつなごう。
値が同じで、そこで滑らかになっていますから、d/dxをダッシュで表すと、
φ１(0)=φ２(0)、φ１'(0)=φ２'(0)
φ２(a)=φ３(a)、φ２'(a)=φ３'(a)
この最初の２つの境界条件から未定の定数を求めよう。
φ１(0)=φ２(0)から、φ1(0)=A+B, φ2(0)＝C。A+B=C。だから１＋B/A=C/A
φ１'(0)=φ２'(0)から、Ak-Bk=Cj. だから、k-B/Ak=C/Aj
B/A=b, C/A=cと割合で表すと、1+b=c, k-bk=cjとなるから、
b=(k-j)/(k+j), c=2k/(k+j)となるね。
＜領域１と３＞
位置ｘを通過してdxの長さの区間にある確率は波動関数φに対してのdx|φ|2だから、振幅の２乗に比例する。また、k,jはexp関数の引数でiｘへの乗数だから、波を先に進ませるので、流れの密度に比例する。
反射率R=dx1|B|^2/(dx1|A|^2)=b^2={(k-j)/(k+j)}^2=1-4kj/(k+j)^2
通過率T=dx2/dx1|C/A|^2=j/k c^2=j/k{2k/(k+J)}^2=4kj/(k+j)^2
これから、R+T=1が出てくる。
つまり、電子は、反射か通過のどちらかで進むことがわかるね。
＜領域２＞
V－E＞０だから、
l=sqrt(2m( V_0ーE)/）とおくと、 j= sqrt(2m(E - V_0)/）＝ilとなります。D=0ですから、
φ２＝C exp(ijx)+ D exp(-ijx)＝C exp(ijx)＝C exp(iilx)=C exp(-lx)となり、
虚部のない指数関数です。
しかも、-l＜0ですから、指数関数exの負の部分を左右反転させた外観になります。つまり、領域１のつぶ波、電子は領域２に入ると減衰する指数関数です。
＜領域３＞
この最後の２つの境界条件から未定の定数を求めよう。
φ２(a)=φ３(a)から、φ２(a)=C exp(-la)＝F exp(ika)
φ２'(a)=φ３'(a)から、- l C exp(-la) = k F exp(ika)
。。。。略
２．トンネル効果を視覚化する。
階段型のポテンシャルの壁あるとき、
量子力学で見たつぶ波の式を整理しておこう。
壁前が領域１(x＜０)、壁の中が領域２、壁の後が領域３（０＜x）だった。
k=sqrt(2mE/）
j= sqrt(2m(E - V_0)/）
として、
つぶ波の式は、
b=(k-j)/(k+j), c=2k/(k+j)で、
φ１＝ exp(ikx)+ b exp(-ikx)
φ２＝ c exp(kx)
φ３＝ F exp(ikx)
反射率R+通過率T=1
境界条件からA+B＝C、
A/A+B/A=C/Aとなり、1+b=c
課題：電子のトンネル効果をgeogebraで視覚化するにはどうしたらよいでしょうか。
単純化のためにh=1, E=3
スライダーで
m=slider(0.000001, 0.00001, 0.000001)
壁のたかさV0=slider(1,5,1)
壁の厚みa=slider(0.01, 1, 0.01)
横軸をｘとして、エネルギーをたて軸にするが、実部だけにすれば2次元でかける。
だから、exp(i Ax)があれば、cos(Ax)だけにします。
壁はV(x)=if(x>=0 && x<=0, V_0, 0)
k=sqrt(2 m E/h)
b=(k-j)/(k+j)
c=1+b
VE=V_0-Eとするとき、l=sqrt( 2 m abs(VE)/h) が正になるようにおきましょう。
そうすると、φ１とφ２の境界値がc exp(-l x)とかけますね。
φ２とφ３の境界値は、x=aのときに、c exp(-la)になるようにしたいので、
F =c exp(-la)にした上で、exp(ikx) の部分をx=aにスライドしてcos(k(x-a))にすればつながるね。
つまり、つぶ波の式は、
f=if( x<0, cos(k x)+b cos(-k x), if(x<=a, c exp(-l x), c exp(-la) cos(k(x-a)) ) )
aをアニメーションにすると壁の厚さによっては、トンネル効果がほぼほぼなく、
壁に跳ね返されるようすも見られるでしょ。