１１．微分とグラフ
このページは電子ブック「探求 数学Ⅲ」の一部です。
１．微分係数と直線
＜微分係数は傾き＞
関数y=f(x)の微分係数f'(a)は、関数のグラフとの接点(a,f(a))での接線の傾き[slope]と等しい。
ｙ＝ｆ（ｘ）のｘ＝aにおける接線[tangent line]の方程式は、ｙ＝f'(a)(x-a)+f(a)
また、方向ベクトル（p,q)と垂直なベクトルは(q,-p)と言える(内積＝０）し、
２つの傾きｍ，ｎが垂直なのはmn=-1のときだとも言える。
こうして、接点を通る法線[normal]の方程式はｙ＝-1/f'(a)(x-a)+f(a)となるね。
（例）
「ｙ＝exのx=aでの接線と法線の方程式」は？
a=0のとき、
y’もexで、e0=1だから、接点は(0,1)傾きも１。y=x+1が接線。法線はy=-x+1。
x=aのとき、接点は(a,f(a)),傾きもf(a)だから、y=f(a)(x-a)+f(a)が接線で、法線の傾きは-1/f(a)。
（例）
「曲線x2+xy+y2=1の接点(1,0)での接線の方程式」は？
xで微分して2x+y+xy'+2y・y'=0から、y'=-(2x+y)/(x+2y)。傾きは-(2)/(1)=-2。y=-2(x-1)+0=-2x+2
（例）
「曲線x=cos5θ,ｙ＝sin5θの(x(θ),y(θ))での接線の方程式」は？
導関数はdy/dx=(dy/dθ)/(dy/dθ)=(5sin4θ・cosθ)/(5cos4θ・(-sinθ))=-tan3θ。
y=-tan3t(x-x(t))+y(t)
３．２回微分して概形を決める
＜２回微分＞
積の微分で積の増減をみる。
ｆ(x)＝ｘ、ｇ(x)＝e-xとするとき、積ｆｇ（ｘ）のおよその形を考えてみよう。
f'=1,f''=0, g'=-e-x=-g g''=g
・関数値そのままで値の変化を見る。
f(x)=ｘはｘの正負がそのまま反映されるｘ＝０で０になるので、ｆｇ＝０になる。
g(x)はすべて正だが、ｘが負だと絶対値は大きく、０で１、正だと１より小さい。
・１回微分で極大極小を見る。
(fg)'=f'g+fg'=1g+x(-g)=g(1-x)=e-x(1-x)
これから、（fg)'がｘが１未満なら正だからfgは増加、（fg)'がｘが１より大なら負だからfgは減少、
(fg)'はｘ＝1のときに０だからfgは最大になる。
・２回微分で変曲点を見る。
(fg)''=(f'g+fg')'=f''g+f'g'+f'g'+fg''=f''g+2f'g'+fg''=0+2(-g)+xg=g(2-x)=e-x(2-x)だから、
ｘ＝２で上に凸から下に凸に入れ替わる変曲点。
（例）
「ｙ＝f(x)=x+１/xのグラフの概形」は？
反比例のグラフに正比例のグラフをたし算すると考えると、ｘ軸を４５°反時計回りに回転した
ｙ＝ｘの直線の上側にｙ＝１/xを押し上げた形になることは容易に想像できる。
また、相加平均が相乗平均以上であることをつかうとｘ＝１/xつまり、ｘ＝±１で最大最小値の
＋２，−２になることもわかるね。
微分で検証してみよう。
f(x)はｘ→＋０で∞、ｘ→ー０で−∞。だから、ｘ＝０近辺でほとんど１/xと同じグラフになる。
f'(x)=1-1/x2=０の解はx=±１で絶対値が１より多いと正で増加関数、１未満で減少。
f''(x)=2/x3＝０の解はない。しかし、ｘが負で負だから上に凸、ｘが正で正だから下に凸。
（例）
「y=f(x)=x2e-xのグラフの概形」は？
g(x)=x2,h(x)=e-xとすると、g'=2x,g''=2。h'=-e-x,h''=ex
g(0)=g'(0)=0。h(0)=h''(0)=1, h'(0)-1。h(x),h''(x)はつねに正、h'(x)は負。これから、
f(x)はｘ＝０で０だから、原点を通る。原点付近はほぼｙ=x2と同様の下に凸のグラフ。
f'(x)=(gh)'=g'h+gh'=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x=0となるのは、x=0,2で、０と２の間は正で増加する。
だから、０で最小、２で最大値。最大値は4e-2=4/e2
f''(x)=(2x-x2)e-x=(2x-x2)'e-x+(2x-x2)(e-x)'=(2-2x)e-x-(2x-x2)(e-x)=(2-4x+x2)e-x=0となるのは、
x2-4x+2=0 x=2±√2のときでその間は負で下に凸。それ以外の両側は上に凸。境目が変曲点。