La geometría y el pensamiento lateral
Tomado de Página 12/Contratapa: "La geometría y el pensamiento lateral" de Adrián Paenza, en https://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-305650-2016-07-31.html
El siguiente problema tiene la particularidad que se puede contestar sin necesidad de escribir nada. Todo lo necesario “está a la vista”. Pero, hará falta aprovechar el pensamiento lateral, o sea, utilizar argumentos que no son los convencionales, o en todo caso, los primeros que a uno se le ocurren.
De todas formas, mientras escribo esto estoy pensando: ¿estará bien lo que estoy diciendo? ¿Y si a usted lo primero que se le ocurre es exactamente lo que hay que pensar para deducir la solución? ¿Quién dice que mi manera de pensar sea la suya? ¿O viceversa?
Bien, en todo caso, le propongo lo siguiente: yo planteo el problema y la/lo dejo en soledad para que usted decida cómo lo piensa. Si se le ocurre la solución en forma inmediata, mi suposición era equivocada. Si no es así, y si requiere de usted algo no tan inmediato, entonces me sentiré un poco más acompañado.
Basta de preámbulos. Acá va.
Concéntrese en la figura 1. Como ve, por un lado, hay un cuadrado. Dentro de ese cuadrado he dibujado dos triángulos. Si se detiene un instante en ellos, verá que cada uno tiene un lado que coincide con uno de los lados del cuadrado. Uno de los triángulos está apoyado en la pared izquierda del cuadrado, y el otro triángulo está apoyado en la base inferior del cuadrado.
Por lo tanto, cada triángulo tiene dos vértices que coinciden con dos vértices del cuadrado; el tercer vértice de cada uno de los dos triángulos, está ubicado en un punto cualquiera de otro lado del cuadrado.
Como usted advierte, los dos triángulos se cortan (en la figura 1 es la parte “rosada”). La otra región que aparece distinguida en la figura 1 es el área que no pertenece a ninguno de los dos triángulos.
Figura 1
Ahora, la pregunta: ¿cuál de estas dos áreas es más grande? ¿el área en donde se superponen o el área que no corresponde a ninguno de los dos?
Como podrá observar, no hay nada particular que hacer, sino mirar con cuidado y analizar la figura que tiene delante de los ojos. El resto se lo dejo a usted. Eso sí: lo único que creo que es necesario saber, es que el área de un triángulo se calcula como la base por la altura sobre dos. Salvo ese dato, creo que no hace falta ningún otro tipo de conocimiento previo. Usted será el juez.
Idea para la soluciónComo escribí anteriormente, el área de cada triángulo se calcula como la base por la altura sobre dos. En el caso de los dos triángulos que figuran de la figura 1, la base de cada uno de ellos coincide con uno de los lados del cuadrado. Como el tercer vértice de cada triángulo está en el lado opuesto del cuadrado, eso significa que la altura de cada triángulo tiene la misma medida que el lado del cuadrado (fíjese en la figura para convencerse... no me crea a mí.... descúbralo usted).
Dicho esto, si el área de cada uno de estos triángulos se calcula como el lado del cuadrado (por ser la base) por la altura (que también coincide con el lado del cuadrado) dividido por dos, entonces
Área de cada triángulo = (lado del cuadrado) x (lado del cuadrado)/2.
Si usted piensa en este dato, el área de un cuadrado se calcula como (lado x lado). En este caso, el área de cada triángulo es (lado x lado) / 2. ¿Qué hemos deducido?: que cada triángulo tiene como área ¡la mitad del área del cuadrado!
Luego, lo que no está incluido en cada triángulo, también tiene como área la mitad del área del cuadrado.
Mire ahora la figura 2.
Figura 2
Los sectores que figuran con un punto negro, son todos los que no están en el triángulo vertical. Si uno suma las áreas marcadas con el punto negro, se obtiene la misma área que la del triángulo vertical, porque lo que está adentro y lo que está afuera miden lo mismo (igual a la mitad del área del cuadrado).
Pero, por otro lado, si uno suma las regiones marcadas con un punto rojo se obtiene el área del segundo triángulo, el que está en forma horizontal. Luego, el área medida por la suma de los puntos negros tiene que ser igual al área de la suma de los puntos rojos.
Dicho esto, como hay dos sectores que tienen puntos rojos y negros simultáneamente, uno deduce que la región que tiene solamente un punto rojo tiene que ser igual a la región que tiene solamente puntos negros.
¡Pero estas dos regiones son las que queríamos comparar! La que tiene el punto rojo solamente, es la región en donde coinciden los dos triángulos; y las que tienen un punto negro únicamente son las regiones del cuadrado que no tocan a ninguno de los dos triángulos.
Es decir, hemos comprobado, que la respuesta a la pregunta original es: ¡esas dos áreas son iguales! El área en donde se cortan los dos triángulos y el área en donde no hay ninguno de los dos triángulos son iguales.
Y eso termina por contestar la pregunta.
Como usted ve, salvo la fórmula del área de un triángulo (la mitad de la base por la altura), no fue necesario ni usar ni saber más nada. Sólo pensar con un poco de cuidado y acercarse al problema en forma un poco más... ¿lateral?
Preguntas (a la que no aspiro tener ninguna respuesta): ¿qué le pasó a usted? ¿se le ocurrió enseguida? ¿hubo algo que le hizo sospechar que esas áreas tenían que ser iguales? ¿cómo pensó el problema? No sabe cómo me gustaría poder estar junto a usted para escuchar sus reflexiones. Seguro que eso me ayudaría muchísimo para educar mi percepción.
Figura 1
Ahora, la pregunta: ¿cuál de estas dos áreas es más grande? ¿el área en donde se superponen o el área que no corresponde a ninguno de los dos?
Como podrá observar, no hay nada particular que hacer, sino mirar con cuidado y analizar la figura que tiene delante de los ojos. El resto se lo dejo a usted. Eso sí: lo único que creo que es necesario saber, es que el área de un triángulo se calcula como la base por la altura sobre dos. Salvo ese dato, creo que no hace falta ningún otro tipo de conocimiento previo. Usted será el juez.
Idea para la soluciónComo escribí anteriormente, el área de cada triángulo se calcula como la base por la altura sobre dos. En el caso de los dos triángulos que figuran de la figura 1, la base de cada uno de ellos coincide con uno de los lados del cuadrado. Como el tercer vértice de cada triángulo está en el lado opuesto del cuadrado, eso significa que la altura de cada triángulo tiene la misma medida que el lado del cuadrado (fíjese en la figura para convencerse... no me crea a mí.... descúbralo usted).
Dicho esto, si el área de cada uno de estos triángulos se calcula como el lado del cuadrado (por ser la base) por la altura (que también coincide con el lado del cuadrado) dividido por dos, entonces
Área de cada triángulo = (lado del cuadrado) x (lado del cuadrado)/2.
Si usted piensa en este dato, el área de un cuadrado se calcula como (lado x lado). En este caso, el área de cada triángulo es (lado x lado) / 2. ¿Qué hemos deducido?: que cada triángulo tiene como área ¡la mitad del área del cuadrado!
Luego, lo que no está incluido en cada triángulo, también tiene como área la mitad del área del cuadrado.
Mire ahora la figura 2.
Figura 2
Los sectores que figuran con un punto negro, son todos los que no están en el triángulo vertical. Si uno suma las áreas marcadas con el punto negro, se obtiene la misma área que la del triángulo vertical, porque lo que está adentro y lo que está afuera miden lo mismo (igual a la mitad del área del cuadrado).
Pero, por otro lado, si uno suma las regiones marcadas con un punto rojo se obtiene el área del segundo triángulo, el que está en forma horizontal. Luego, el área medida por la suma de los puntos negros tiene que ser igual al área de la suma de los puntos rojos.
Dicho esto, como hay dos sectores que tienen puntos rojos y negros simultáneamente, uno deduce que la región que tiene solamente un punto rojo tiene que ser igual a la región que tiene solamente puntos negros.
¡Pero estas dos regiones son las que queríamos comparar! La que tiene el punto rojo solamente, es la región en donde coinciden los dos triángulos; y las que tienen un punto negro únicamente son las regiones del cuadrado que no tocan a ninguno de los dos triángulos.
Es decir, hemos comprobado, que la respuesta a la pregunta original es: ¡esas dos áreas son iguales! El área en donde se cortan los dos triángulos y el área en donde no hay ninguno de los dos triángulos son iguales.
Y eso termina por contestar la pregunta.
Como usted ve, salvo la fórmula del área de un triángulo (la mitad de la base por la altura), no fue necesario ni usar ni saber más nada. Sólo pensar con un poco de cuidado y acercarse al problema en forma un poco más... ¿lateral?
Preguntas (a la que no aspiro tener ninguna respuesta): ¿qué le pasó a usted? ¿se le ocurrió enseguida? ¿hubo algo que le hizo sospechar que esas áreas tenían que ser iguales? ¿cómo pensó el problema? No sabe cómo me gustaría poder estar junto a usted para escuchar sus reflexiones. Seguro que eso me ayudaría muchísimo para educar mi percepción.