the möbiusgroup SO(3, ℂ)
 | this activity is a page of geogebra-book elliptic functions & bicircular quartics & . . .(27.04.2023) |
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In the complex, 3-dimensional vector space with non-degenerate quadratic form
an oriented basis is selected with ,
for which the two product tables are to apply:
- by the uniquely determined linear form for all
Kurze Deutung der Basis-Vektoren:
Die -Ebene werde stereographisch auf die Einheitkugel projiziert.
ist eine Tangente an die Einheitkugel in Richtung der -Achse,
ist eine Tangente in , ebenfalls in -Richtung.
ist die Verbindungsgerade dieser beiden Punkte, im Raum also die z-Achse.
ist eine Tangente an die Kugel im Bildpunkt der stereographischen Projektion von z.
ist die Verbindungsgerade der stereographischen Bilder von und .
Diese Darstellung der ebenen Möbiusgeometrie hat Nachteile, aber sehr viele Vorteile:
Die Kreise als einzelne Objekte sind nicht leicht zugänglich!
Dagegen steht die Vielfalt der Deutungsmöglichkeiten der PUNKTE und der Vektoren von .
- Die - projektiv anzusehenden - PUNKTE auf - d.h. es ist - sind die Punkte der Möbusgeometrie.
- Die Vektoren mit können als Tangentialvektoren gedeutet werden: ist eine differenzierbare Kurve, so ist tangential an die Kurve. kann reell oder komplex sein. Im 2. Falle werden komplex-analytische Funktionen erfasst!
- Die Vektoren können als infinitesimale Möbius-Bewegungen gedeutet werden: die lineare Abbildungen , erklärt durch für alle , wirken auf die Möbiuspunkte auf . Die Bahnkurven der Bewegungen sind je nach Typ des Vektors für reelle Parameter t hyperbolische (), oder elliptische () oder parabolische () Kreisbüschel; für erhält man loxodromische Bahnkurven, das sind die Kurven, welche ein hyperbolisches ( - oder ein elliptisches - ) Kreisbüschel unter konstantem Winkel schneiden.
- Die Bewegungen sind Ein-Parameter-Untergruppen der Möbiusgruppe. Solche Bewegungen einer Gruppe werden als W-Bewegungen bezeichnet. Auch hier erhält man eine reelle - - oder eine komplexe - - Gruppe.
Ein lineares Vektorfeld
- Die Tangentialvektoren der Bahnkurven einer W-Bewegung auf der Quadrik erzeugen ein lineares Vektorfeld: , mit . Siehe dazu das book-Kapitel Kreisbüschel oder lineare Vektorfelder
- Die Vektoren mit können als Geradenvektoren im Kugel-Modell der Möbiusebene gedeutet werden: Die GERADE mit schneidet die Kugel in 2 Punkten. Die GERADE ist die nicht-schneidende Polare dazu!
- Von Interesse sind auch die quadratischen Vektorfelder: mit . Die Berechnung ergibt eine elliptische Differentialgleichung , deren Lösungskurven bei speziellen Lagen der Brennpunkte konfokale bizirkulare Quartiken sind; dies ist zB. der Fall, wenn die Brennpunkte auf einem Kreis liegen!
- Läßt man oben oder unten im Applet die "Brennpunkte" gegeneinander laufen, so nähern sich die Kreisbüschel und die Bahnkurven den Kreisen von parabolischen Kreisbüscheln!
Dieses Vektorfeld ist mit den oben angegebenen Formeln des Übertragungsprinzips konstruiert:
Zu werden berechnet.
Die Verbindungsgerade im Kugelmodell ist .
Der Richtungsvektor im Punkt wird mit Hilfe des linearen Vektorfeldes berechnet.
Dank ge
gebra sind alle komplexen Rechnungen problemlos!
gebra sind alle komplexen Rechnungen problemlos!