La Ruina del Jugador
Problema:
Un jugador juega contra la banca partidas sucesivas e independientes. En cada partida, la probabilidad de ganar es igual a la de perder: p=1/2. Si el jugador pierde, entrega un euro a la banca, y si gana recibe la misma cantidad. La fortuna del jugador varía por tanto, al azar, de acuerdo con los resultados de las distintas partidas. El jugador tiene previsto retirarse tanto si llega a ganar 6 euros como si llega a perder 4.
¿Cuál será la probabilidad de alcanzar esos 6 euros de beneficio? ¿Qué número de partidas durará el jugador por término medio?
Simulación:
El problema de la ruina del jugador es isomorfo al del paseo aleatorio por una recta: se trata de una partícula que, partiendo del origen de coordenadas, salta sucesivamente desde la posición que eventualmente ocupa a cualquiera de las dos contiguas con igual probabilidad (1/2).
En la escena de debajo, se simula el lanzamiento de una moneda: si sale cara, la partícula salta hacia la derecha y si sale cruz, salta hacia la izquierda.
Ampliación
Tras las preguntas iniciales:
- ¿Cuál será la probabilidad de alcanzar esos 6 euros de beneficio?
- ¿Qué número de partidas durará el jugador por término medio?
- Al cabo de n movimientos, ¿cuál es, por término medio, la distancia al origen?
- Y si, en lugar de 6 y 4, los euros a ganar o perder son 10 y 5, ¿cuáles serían las respuestas a las 3 preguntas anteriores?
- ¿Y si son m y n?