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Bernoulli, Tabellen der Stochastik, Binomialverteilung

Autor:birgit.heidecker, Ernst Deisinger, Matthias Bolli

Wiederholung der Bernoulli-Formel an einem Beispiel

Wir haben nun schon die Bernoulli-Formel in einigen Berechnungen und Aufgaben angewendet. Schau dir zur Sicherung deines Wissens das folgende Video an, in dem die Anwendung und Notwendigkeit der Formel noch einmal an einer weiteren Aufgabe erklärt wird.

Bernoulli Video 2 - Erklärungen zur Formel und Binomialverteilung

Bestimmung der Ergebnisse mit den Tabellen zur Stochastik

Die Lösung für Aufgaben, die mit der Bernoulli-Formel zu berechnen sind, kann man auch den Tabellen der Stochastik entnehmen. Schau dir dazu das Video an, in dem auch noch einmal die Berechnung mit dem Taschenrechner, also die Nutzung der nCr - Taste erklärt wird. Beachte, dass die Taste an deinem Taschenrechner woanders sein kann! Schau dir nun das folgende Video an.

Binomialverteilung - Arbeiten mit der Tabelle

Aufgabe 1

Wir betrachten die Fußballaufgabe aus dem Video. Beim Elfmeterschießen wird fünfmal geschossen, die Trefferwahrscheinlichkeit ist 0,8. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau viermal getroffen wird mit dem Taschenrechner und überprüfe dein Ergebnis mit der Tabelle. Gib die Wahrscheinlichkeit, die in der Tabelle gegeben ist, hier als Antwort ein.

Antwort überprüfen

Aufgabe 2

Bestimme mit dem Taschenrechner und der Tabelle die Wahrscheinlichkeiten für 2, 3 und 5 Treffer. Schreibe die Ergebnisse durch Komma getrennt hier als Antwort auf.

Antwort überprüfen
Die Binomialverteilung - Darstellung im Histogramm

Darstellung im Histogramm und Nutzung der Tabelle

Im folgenden Geogebra-Applet ist die Möglichkeit gegeben, das Histogramm für verschiedene Bernoulli-Experimente darzustellen. Die Darstellung im Histogramm kennen wir von der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Bernoulli-Experiments. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man natürlich auch wieder als kumulative Verteilungsfunktion darstellen. Dazu kommen wir später. Im Buch s. dazu Seiten 79 und 80. Der Begriff Normalverteilung spielt für uns keine Rolle, ist der Erwartungswert und die Streuung, die Begriffe kennt ihr schon, zur Besprechung kommen wir später.

Aufgabe 3

Stelle am Geogebra Applet für n=5 ein und für p=0,8 (Feineinstellung geht, wenn man direkt auf den Schieberegler klickt und den Wert Schritt für Schritt ändert.) Die Darstellung ist nicht perfekt (den Wahrscheinlichkeitswert für k=4 kann man nicht ablesen), aber für 2, 3 und 5 Treffer kann man die Werte gut überprüfen. Vergleiche also deine Werte aus Aufgabe 2 mit denen im Histogramm des Applets.

Aufgabe 4

Nutze das Applet, um auf Seite 81 für die Aufgabe 3 die Wahrscheinlichkeitsverteilungen anzuzeigen. Übertrage die Wertetabellen (als Hilfe s. Seite 80 unten links) für die Teilaufgaben a) und b) ins Heft. Nutze für die genauere Angabe der Wahrscheinlichkeiten auch die Tabelle. Den Teil der Aufgabe zur kumulativen Verteilungsfunktion bearbeiten wir noch nicht.

Neues Applet für Einstellungen von n bis 200

Wir arbeiten nun mit einem neuen Applet, bei dem man Wahrscheinlichkeitsverteilungen für größere Werte von n veranschaulichen kann. Wir wenden dieses nun für verschiedene Aufgaben an, um dann auch zu verstehen, weshalb es oft attraktiver ist, mit der kumulativen Verteilungsfunktion zu arbeiten.

Aufgabe 5

Löse mit Hilfe des Applets die Aufgabe 6 auf Seite 81. (Tipp: Hierzu musst du n=25 und p=0,15 einstellen). Schreibe die Lösungen für a), b) c) und d) der Reihe nach durch Komma getrennt als Prozentangaben mit zwei Nachkommastellen hier in das Antwortfeld. Hinweis: Du kannst zur Berechnung die Einstellung von bis benutzen. Überlege aber auch immer, wie die Berechnung ohne diese Möglichkeit, wenn du also nur den Taschenrechner oder nur die Tabelle zur Verfügung hättest, vor sich gehen würde.

Antwort überprüfen

Aufgabe 6

Bestimme mit dem Applet für n=90 und p=0,15 die folgenden Wahrscheinlichkeiten. Schreibe die Lösungen der einzelnen Teilaufgaben mit Komma getrennt hintereinander in das Antwortfeld (Ergebnisse in Prozent mit zwei Nachkommastellen). Überlege, welche der Aufgaben du auch ohne das Applet mit dem Taschenrechner oder der Tabelle unter zumindest mäßigem Aufwand berechnen kannst. a) P(X=12) b) c) d) e) P(X<20) f)

Antwort überprüfen

Kumulative Verteilungsfunktion

Bei der Bearbeitung von Aufgabe 6 ist dir klar geworden, dass man zum Beispiel für die Lösung von Teilaufgabe b) alle Wahrscheinlichkeiten für eine Trefferzahl von 0 bis 12 aufsummieren muss. Man muss also die Bernoulli-Formel 13-mal in den Taschenrechner eintippen oder die Tabelle an der richtigen Stelle aufschlagen und die dort gegebenen 13 Wahrscheinlichkeiten addieren. Das könnte man noch als mäßigen Aufwand bezeichnen und die Berechnung so ausführen. Die Teilaufgabe c) könnte man mit dem Gegenereignis, also mit dem Ergebnis von d) ausrechnen. Bei den Teilaufgaben e) und f) hat man aber schon deutlich mehr Summanden und der Aufwand wird immer größer, je größer die Trefferzahl wird. Wenn dann auch noch n größer wird, dann ist es hilfreich, wenn man auf die kumulative Verteilungsfunktion zurückgreifen kann. Auch die Wahrscheinlichkeiten für die kumulative Verteilung sind in den Tabellen der Stochastik angegeben. Schau dir dazu die beiden folgenden Videos (im zweiten Video wird auch die Berechnung mit dem Taschenrechner gezeigt, das kannst du aber weglassen) an und überprüfe dann die Ergebnisse aus Aufgabe 6, indem du sie in der Tabelle nachschlägst.

Kumulierte Binomialverteilung

Video zur Nutzung der Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung

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