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Lezione 1- Attività di scoperta: la moltiplicazione complessa

Autore:Franca Donato

Moltiplicazione tra complessi

Obiettivo Capire che moltiplicare per un numero complesso A equivale a:
  • una rotazione
  • e una dilatazione
Al fine di far capire meglio cosa succede quando si moltiplica un numero complesso per un complesso dato (che chiameremo fattore moltiplicativo) si fa la seguendo procedura: 1. scelgo un numero complesso e il fattore moltiplicativo 2. calcolo algebricamente modulo e argomento (angolo che rappresenta la direzione) di ; 3. visualizzo il vettore corrispondente; 4.traccio anche la circonferenza che ha centro nell'origine e raggio pari a 4. trovo modulo e direzione del fattore moltiplicativo ; 6. moltiplico il numero complesso , per il fattore moltiplicativo ottenendo i vettore ; 7. Vogliamo scoprire che relazione c'è tra i due numeri complessi (vettori) e in relazione alle caratteristiche del fattore moltiplicante

Scelta dei numeri complessi e loro caratterizzazione

Sia dato il seguente numero complesso: Calcola algebricamente e riporta sotto il modulo e l'argomento ricordando che ;

Visualizzazione nel piano

Nella barra di inserimento di GeoGebra inserisci i numeri complessi z e il fattore moltiplicativo A: GeoGebra lo rappresenta automaticamente come punto. Traccia il vettore corrispondente a tale punto con il comando: Determina modulo e argomento (angolo) con i seguenti comandi: Inserisci circonferenza di centro l'origine: c: x^2+y^2=(Lunghezza(z))^2 Inserisci il fattore moltiplicativo : crea due slider: a che varia da -3 a 3 b che varia da -3 a 3 Visualizza il punto associato A=a+ib Traccia il vettore corrispondente a tale punto con il comando: Determina modulo e argomento (angolo) con i seguenti comandi:

Visualizzazione nel piano complesso

Condiserazioni sul moltiplicatore A

  1. Come varia il modulo di A?
  2. Cosa succede quando A si trova sulla circonferenza di raggio ?
  3. Cosa rappresenta l’argomento di A?

Moltiplicazione

Svolgi le moltiplicazioni suggerite tra i vettori espressi in forma algebrica: ; Calcola sul tuo quaderno e riporta sotto il modulo e l'argomento ricordando che ; Il vettore z' ha lunghezza diversa rispetto ai vettori corrispondenti ai numeri complessi e ? Che direzione ha z' rispetto a quelle dei vettori corrispondenti ai numeri complessi e ?

Visualizziamo nella finestra di GeoGebra precedente:

Poni nella barra di inserimento anche il numero complesso che corrisponde al prodotto del numero complesso z per il moltiplicatore A scelto in base ai valori degli slider a e b: Nota il modulo e argomento (angolo) dai precedenti comandi: Inserisci nella barra inserimento le moltiplicazioni suggerite tra i vettori: Traccia il vettore corrispondente a tali punti con i comandi: Determina modulo e argomento (angolo) con i seguenti comandi:

Confronto tra tre casi

Caso 1: ( |A| = 1 )

    Domande
  1. Dove si trova z' rispetto alla circonferenza di raggio |z|?
  2. Il modulo di z cambia?
  3. Quanto cambia l’angolo di z' rispetto a z?
  4. Riesci a collegare l’angolo di z' con quello di z e A?
  5. Che tipo di trasformazione ha subito il vettore corrispondente al numero complesso z dopo essere stato trasformato dal fattore moltiplicativo A?

    Caso 2: ( |A| < 1 ) Domande

    1. Dove si trova z' rispetto alla circonferenza di raggio |z|?
    2. Il vettore corrispondente al numero complesso z' è più lungo o più corto rispetto al vettore corrispondente al numero complesso z?
    3. Quanto cambia l’angolo di z' rispetto a z?
    4. Che tipo di trasformazione ha subito il vettore corrispondente al numero complesso z dopo essere stato trasformato dal fattore moltiplicativo A?

    Caso 3: ( |A| > 1 )

    1. Dove si trova Z' rispetto alla circonferenza?
    2. Il vettore corrispondente al numero complesso z' è più lungo o più corto rispetto al vettore corrispondente al numero complesso z?
    3. Quanto cambia l’angolo di z' rispetto a z?
    4. Che tipo di trasformazione ha subito il vettore corrispondente al numero complesso z dopo essere stato trasformato dal fattore moltiplicativo A?

    Trasformazione geometrica di una figura legata al fattore moltiplicativo

    Caratterizza sotto, i tipi di trasformazione geometrica che ha subito il triangolo trasformato dal fattore moltiplicativo

    Trasformazione geometrica di un numero complesso (visualizzabile con un punto-vettore) legata al fattore moltiplicativo

    Caratterizza sotto, i tipi di trasformazione geometrica che subisce un numero complesso trasformato dal fattore moltiplicativo (specifica la trasformazione del suo modulo e del suo argomento in relazione alle caratteristiche del modulo e argomento del fattore moltiplicativo )

    1. Come si combinano gli argomenti?
    2. Come si combinano i moduli?
    3. Puoi formulare una regola generale?

      Dimostrazione algebrica del prodotto tra i due numeri complessi

      Scrivi sotto il numero complesso z=x+iy di modulo |z| e argomento in forma trigonometrica

      Scrivi sotto il fattore moltiplicativo (numero complesso) di modulo e argomento in forma trigonometrica

      Svolgi i calcoli sul quaderno e riporta il risultato del prodotto che conferma quanto hai scoperto con geogebra.

      Scrivi ora i due numeri complessi z e A in forma esponenziale:

      Svolgi i calcoli sul quaderno e riporta sotto il risultato del prodotto. Vengono confermati i risultati precedenti? Quale regola possiamo evidenziare per indicare il prodotto tra due numeri complessi espressi attraverso la forma esponenziale?

      Scrivi sotto i numeri complessi in forma cartesiana e il fattore moltiplicativo Svolgi i calcoli sul quaderno per determinarne il prodotto e ottenere le caratteristiche del numero complesso z'. Scrivi sotto i risultato ottenuto.

      In quale forma conviene guardare i numeri complessi per eseguire una moltiplicazione?

      Considerazioni finali

      Fai sotto le tue considerazioni sull'attività svolta.

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