ベクトル〜一行か一列にならぶ数

bをaに正射影したベクトルと垂線ベクトル

０．ベクトルって何？

ベクトルを定義すれば、ベクトルの説明にはなるけど、イメージ理解につながらなかったりする。身近な例からイメージを作ってみよう。日常では、株価の動きとか、為替レートの動きが話題になる。個人的には、体重の変化とか体脂肪率の変化とかが気になる人もいるかもしれません。そいういうデータは数字が並んだもの、数のデータになりますね。これらの数のデータは、１つの項目について、時間とともに、あるいは測定した日付などとともに記録される。たとえば、毎日朝起きて体重を測り記録すると、体重の数データができるね。数列はプログラミングのデータでは、リストと言われているね。３月１日から３月３日までの３日間の体重のリストは例えば、 T＝{66,65,66} ここには、日付はデータ化されてないけれど、順番には意味がある。 T(0)といえば66、T(1)といえば65というように。。。。複数のデータを並べた数の組はタプル。 ｘ，ｙ，ｚ座標が1,2,3である点は(1,2,3)と書いたりするね。このように、点の座標もタプルだ。なお、似ているけどちがうものにセット（集合)というのがある。重複したものを取り除いたリストだ。ユニークリストだね。 (65,66) こうなると、もう順番はどうでもよくなってくる。このように、プログラミング言語はデータを扱うものなので、データ構造にはいろいろあるようだ。さて、このように、項目の１データは、測定した数値は整数や小数で表せることがある。つまり、実数だね。（数をスカラーということがあるよ。） 複数の項目の数（スカラー）を並べて、リストやタプルを作ろう。それがベクトルなんだ。 たとえば、宅急便に出す荷物の箱の寸法があるね。たて、よこ、高さの測定とその合計、４つの値を並べてみよう。 箱A：[ 20, 30, 40, 90] 箱B：[ 25, 30, 35, 90] このように、４つの項目からなる１行のリスト（タプル）を特に、1行4列だから、行ベクトルという。同じ内容を１列４行に縦書きすることもできる。すると１列４行の列ベクトルになる。では、４行か４列だから４次元ベクトルか？ というとそうでもない。くわしくは、次に考えるけど、カンタンにいうと、４番め項目がたて＋よこ＋高さだから、前の３つの項目で計算可能だから。ベクトルに記録しなくても、そのつど計算できるものだね。しかし、たてとよこから高さを計算するわけにいかないから、高さは独立だ。同じように、たて、よこ、高さは互いに独立なので、３つの項目が独立しているデータのベクトルだ。だから、３次元ベクトルと言えそうだね。

１．内積と使い方

さあ、さっきまでのベクトルのイメージを 今度は、文脈に依存しないで使えるようにするために、 できるだけ、一般化、明確化していこう。 そうは言っても、抽象的になりすぎそうなときは、幾何ベクトルの例を使ってイメージが失わない程度の抽象化にしておこう。 ＜ベクトルの単位化＞ ベクトル[Vector]の表示は太小文字１文字か、始点終点の順の太大文字２文字としよう。（できるだけ斜体にしますが、イタリック体もあればボールド体、２重線文字も見かけます）　aは辺の長さ、aはベクトル、ABは辺、ABはベクトル。・高校のベクトルと大学のベクトルの違い　高校数学では、点と点を結ぶ→（矢線）として、ベクトルの差やベクトルをつなぐことが　わりと大切だった。辺ABなら大きさがあるが、向きもあるのがベクトルだ。　という説明が中心だった。幾何ベクトルのことだった。　高校数学のベクトルは図形の方程式を座標なしにまとめて表示する道具でもあったね。　できるだけ幾何ベクトルや点の座標だけに頼らず、　数ベクトルやベクトル文字式の表記にも慣れよう。 ・さて、ベクトルの大きさ、ノルム[norm]は||a||のように、２重絶対値記号とする。・単位ベクトルは、ベクトルにベクトルの大きさで割ったもの（大きさの逆数をかけたもの）だね。（例）e=a /||a|| ・互いに平行でもなく０でもないベクトルは １次独立[primary (linearly) independence]という。・１次独立なベクトルのスカラー[scalar]（実数）倍の和を１次結合[linear combination]という。　p=sa + tb + uc ベクトルｐは３つの１次独立なベクトルの１次結合で表される。　３次元空間はa,b,cで張られた空間である。 （一般化） だから、１次独立なベクトルがｎ個あれば張ることのできる空間をｎ次元空間 と言えるね。そのときのベクトルはｎ個の数、成分を並べて表示できる。空間といっても、現実の物理的な空間に限る必要はないですよ。たし・ひき算と、2倍、3倍のような定数倍できること。それが成分ごとに独立して実行できる量であれば、それをベクトルとして扱えます。 ＜ベクトルの内積＞ ・幾何ベクトルとしての内積の定義　内積[inner product, dot product]は、１つのベクトルに他のベクトルを正射影して向きを込めた長さの積 　ドット積ともいい、２つのベクトルの間にドットをおく。 ベクトルの内積は、スカラー（実数）になる。・２ベクトルが垂直だと射影した長さが０になるから、内積も０。　　a・b=0　とかく。・２ベクトルが平行だと、ただの長さの積になるが、同方向なら正、反対方向なら負。　a・b= ±||a|| ||b|| とかく。・２ベクトルが射影したあと逆向きなら負、同じ向きなら正。　このような正負や０という特徴はcosθの特徴からくるね。 a・b= ||a|| ||b|| cosθ ・数ベクトルとしての内積の定義　成分表示すると、a=[x₁, y₁, z₁], b=[x₂, y₂, z₂]とすると、　a・b= x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ ||a||= x₁² + y₁² + z₁² ||b||= x₂² + y₂² + z₂² a≠0,b≠0 のとき、 cosθ = a・b/ ||a|| ||b|| =(x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂)/√(x₁² + y₁² + z₁²)√(x₂² + y₂² + z₂²) 　aとbが垂直なとき、　a・b= x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂=0 ＜内積の性質と利用＞・内積の性質[property] 　対称性 a・b　=　b・a 　線形性（分配） (a+b)・c　=　a・c+b・c 　線形性（定数倍） (ka)・b　=　k(a・b)=a・(kb) 　正定値性 a・a≧0 =は、a=0に限る。・ノルムの性質　|| ka ||= |k| || a || | a・b |≦ || a || || b || (コーシー・シュワルツの不等式） || a + b ||≦ || a ||+ || b ||　（三角不等式）・ベクトルｂのベクトルaへの正射影[orthographic projection]ベクトル 　定数（ｂの影のサイズは||b||cosθ）倍するのは、単位化したベクトルaはa/||a||だから、　||b||cosθ a/||a||=||a||||b||cosθ a/||a||²= (a・b /||a||²) a＝ｃとしよう。・ベクトルaへの垂線[Perpendicular line]ベクトル 　ベクトルｂの終点に逆ｃの始点をつなごう。 ｂーｃ 　＝ｂー(a・b /||a||²) a （例）「a=[3,1,2],b=[-1,2,4]のとき、bのaへの正射影ベクトルcと、aに垂直なベクトルb-c」は？ a・b=-3+2+8=7。a・a=9+1+4=14　a・b /||a||²＝7/14=1/2 正射影ベクトル　c= 1/2 a=[ 1.5, 0.5, 1] 垂線ベクトル　b-c=[-1,2,4]-[1.5,0.5,1]=[-2.5, 1.5, 3] （例）内積から余弦定理を導こう。　三角形OABで　AB²=(b-a)・(b-a)=a・a+b・b-2(a・b) =OA²+OB²-2OA・OBcos角AOB

外積を法線ベクトルにしよう。

２．外積と使い方

＜ベクトルの外積＞ 　２つのベクトルの間に✕をおく。　a✕b= c 　✕だから、クロスと呼ぶ。 ベクトルa,bの外積[cross product]は、ベクトルcになる。 　cの向きは、a,bの両方に垂直で、aからbに向かう右ネジの方向にある。 cの大きさは、a,bが張る平行四辺形[parallelogram]の面積Sである。 ||a✕b||=S=||a|| ||b||sinθ=||a|| ||b||√(１−cos²θ)=√(||a||² ||b||²−||a||² ||b||²cos²θ) = 外積の絶対値は内積で計算できるね。 成分表示すると、a=[x₁, y₁, z₁], b=[x₂, y₂, z₂]とすると、 　a✕b=[ y₁z₂ - z₁y₂ , z₁x₂ - x₁z₂ , x₁y₂ - y₁x₂ ] サイクリックなたすき掛け a = [x₁, y₁, z₁,x₁] b = [x₂, y₂, z₂,x₂] このように２段にして書き、サイクリックにできるようにｚ座標のあとにｘ座標をかいておく。ｘ成分を隠した次のｙz列の４要素のたすき掛けがｘ座標、ｙ成分を隠した次のｚｘ列の４要素のたすき掛けがｙ座標、ｚ成分を隠した前のｘｙ列の４要素のたすき掛けがｚ座標。・外積は２つのベクトルに垂直な法線ベクトルを求める手段として使える。　２直線の方程式から２つの方向ベクトルがわかる。この２つのベクトルの外積を法線[normal]ベクトルとする。　そうすると、２直線を含む平面の方程式を作ることができるね。・外積のサイズは、２つのベクトルを２辺とする平行四辺形の面積である。　だから、外積の半分で、３点の座標から三角形の面積を求めることができるね。（例）三角形OABのA,Bの位置ベクトルa=[2,-1,1],b=[-3,2,1]とすると、三角形ABCの面積は？　

||a✕b||=1/2√(||a||² ||b||²−(a・b)² ) =

。 a=[2,-1,1] b=[-3,2,1] 　外積は[-3,-5,1]だから、

||a✕b||＝

。（例）ベクトルa=[2,1,-1,1],b=[-1,0,3,2]とすると、ベクトルa,bで張る平行四辺形の面積は？　||a✕b||=√(||a||² ||b||²−(a・b)² ) =

。 ＜外積の性質と利用＞ 　交代性：a✕b=-b✕a　（積の順番を変えると右ネジが逆向きになる。） 線形性（分配）：(a+b)✕c=a✕c+b✕c 線形性（定数倍）：(ka)✕b=k(a✕b)=a✕(kb) ＜図形の方程式＞ ・点A(x₁, y₁, z₁)、点P(x, y, z)を通る直線APの方向ベクトルをd=[ｌ, m, ｎ]とする。　AP=ｋｄとなるから、k=

・点A(x₁, y₁, z₁)、点P(x, y, z)を通る平面の法線ベクトルをh=[ｌ, m, ｎ]とする。　AP・h =0 となるから、

（例）２直線L1,L2について、L1と平行でL2を含む平面πの方程式を求めよう。　　　L1：

、L２：

。 πはL2が通る点A(2,-1,2）を通る。　πの法線ベクトルｈはL1とL２の方向ベクトルd=[-1,2,4],e=[3,1,1]と垂直だ。 d=[-1,2,4] e=[3,1,1] 　d✕e=[2・1 - 4・1, 4・3 - (-1)・1, (-1)・1 - 2・3]=[-2, 13, -7] 　-2(x-2)+13(y+1)-7(z-2)=0 　だから、2x-13y +7z -31=0 。・Rn空間では、内積形が図形を表す。　R2空間では、ax+by+c=0は法線ベクトルがn=(a,b)の直線の方程式　R3空間では、ax+by+cz+d=0は法線ベクトルがn=(a,b,c)の平面の方程式。　

３．演習

・R³のベクトル

のとき。a+b, ||a||, ||b|| , a・b, a✕b, ||a✕b||　は？

a・b=

a✕b=

||a✕b||=

または、