La elipse de Steiner como lugar geométrico
La elipse circunscrita de Steiner, o elipse exterior de Steiner, pasa por los tres vértices de cualquier △ABC y tiene centro en el baricentro.
Si se une un punto cualquiera P del plano con los tres vértices A, B y C mediante rectas, estas cortan a los lados BC, CA y AB o a sus prolongaciones, respectivamente en puntos D, E, y F.
Para los puntos de la elipse exterior de Steiner se tiene que:
(DP/DA)² + (EP/(EB)² + (FP/FC)² = 1
siendo menor que 1 para los puntos interiores y mayor que 1 para los exteriores, con un mínimo de 1/3 cuando P coincide con el baricentro G.
Se trata de un problema claramente afín, pues en una transformación afín se conservan los cocientes de distancias entre puntos alineados (su razón simple), y como consecuencia de ello la alineación de puntos, y el paralelismo y concurrencia de rectas. En particular, las cónicas se transforman en cónicas del mismo tipo, con el mismo número de puntos impropios, por lo que la imagen de una elipse es otra elipse. Como por otras parte todos los triángulos son equivalentes bajo transformaciones afines, puede estudiarse el problema en cualquier triángulo, en particular en el equilátero. Esto lo hace fácilmente abordable mediante geometría analítica cartesianas, aunque utilizando coordenadas baricéntricas puede demostrarse de forma más directa.
Explícitamente, la afinidad que transforma cualquier triángulo en equilátero puede considerarse compuesta de un deslizamiento paralelo a un lado, al que deja invariante, y que transforme el triángulo en isósceles, seguida de una contracción perpendicular a ese lado, que transforme al triángulo en equilátero. La primera no cambia el valor de ninguna área, por el principio de Cavallieri, y la segunda cambia todas las áreas en la misma proporción. Pulsar el botón [→ △ equil.] para efectuar esta transformación.
Pueden desplazarse los vértices A y B en cualquier momento, y C cuando el triángulo no es equilátero.