Lemma di Fermat - Enunciato e dimostrazione
ENUNCIATO
Data una funzione e un punto , in cui la funzione sia derivabile.
Se è un punto di estremo relativo (massimo o minimo), allora .
SIGNIFICATO GEOMETRICO
Dal Lemma di Fermat di deduce che la retta tangente nei punti di massimo o minimo di una funzione, ove in questi punti sia derivabile, è parallela all'asse X.
ISTRUZIONI
- Muovi il punto P sulla curva in modo da valutare il valore della derivata
- Con l'opzione "Mostra pt modifica" è possibile visualizzare 4 punti con i quali modificare la curva
- Con l'opzione "Mostra tangenti" è possibile visualizzare le tangenti alla curva nei punti estremali
- Con l'opzione "Mostra f'(x)" è possibile visualizzare la curva della derivata della funzione e le relative intersezioni con l'asse X
DIMOSTRAZIONE
Per ipotesi la funzione è derivabile in , quindi
Supponiamo che sia un punto di massimo relativo, ovvero
Allora si ha:
- la derivata sinistra
- la derivata destra