Cicloide esférica
- Autor:
- Enrique Hoyos Jiménez
- Tema:
- Coordenadas, Curvas paramétricas, Esfera
Si se hace rodar un círculo sobre otro, sin deslizamiento, formando los planos que incluyen a ambos un ángulo ω, un punto del círculo que rueda describirá una cicloide esférica.
El efecto es el mismo que si un cono rueda sobre la generatriz de otro tal como aparece en la figura anterior.
La curva que se obtiene es inscribible en una esfera y tiene por ecuaciones paramétricas
x= b ((q - cos(ω)) cos(t) + cos(ω) cos(t) cos(q t) + sen(t) sen(q t))
y= b ((q - cos(ω)) sen(t) + cos(ω) sen(t) cos(q t) - cos(t) sen(q t))
z= b sen(ω) (1 - cos(q t)) ;
Donde b es el radio del círculo rodante, q = a/b , siendo a el radio del círculo base y el parámetro t varía entre dos múltiplos opuestos de π, tan grandes como sea necesario.
La curva está formada por arcos con un vértice (punto sin tangente) en común. El número de arcos es el numerador de q caso de ser racional, si q es irracional es infinito.
Para valores extremos de ω se obtienen curvas planas: hipocicloide para ω=0, epicicloide para ω=π.
Para 0 ≤ ω ≤ π/2 ,, q > cos ω ,, el círculo de los vértices tiene un radio menor que el círculo de la base y se tiene un hipocicloide esférico.
Para 0 ≤ ω ≤ π/2 ,, q < cos ω ,, el círculo de los vértices tiene un radio mayor que el círculo de la base y se tiene un epicicloide esférico. Igualmente en el caso π/2 ≤ ω ≤ π.
Para 0 ≤ ω ≤ π/2 ,, q = cos ω ,, los dos círculos tienen el mismo radio y la curva es una hélice esférica.