kosmologie met goddelijke proportie
kosmologie
"Waarom zijn er nu juist 6 planeten zijn en waarom hebben ze t.o.v. de zon elk de afstand die ze hebben" Kepler vraagt zich af .
Het antwoord in zijn Mysterium Cosmographicum en volledig online is een systeem waarin je de banen van de planeten kan plaatsen rond en binnen veelvlakken, namelijk de vijf Platonische lichamen (veelvlakken waarvan alle zijvlakken identieke regelmatige veelhoeken zijn):
het viervlak (piramide), zesvlak (kubus), achtvlak (octaëder), twaalfvlak (dodecaëder) en twintigvlak (icosaëder).
Kepler combineert in één goddelijk bouwplan netjes het principe van planeten die alle rond de zon draaien met een beeld waarin de aarde centraal staat, de zes planeten, de vijf Platonische lichamen én de gulden snede, "dankbaar dat de schepper hem de geesteskracht gegund heeft om na 6000 jaar eindelijk de structuur van de wereld te onthullen."
ingeschreven en omgeschreven cirkel
Bij elk van deze veelvlakken kan je twee bollen tekenen:
- de ingeschreven bol raakt alle zijvlakken van het veelvlak.
- de omgeschreven bol gaat door alle hoekpunten van het veelvlak.
Vertrekkend van de aarde laat Kepler telkens de baan van elke planeet omschrijven door één van de veelvlakken.
"Er zijn 6 planeten omdat er 5 Platonische lichamen zijn."
De omschreven bol van dat veelvlak komt nu telkens overeen met de baan van de volgende planeet.
- de aardbaan wordt omschreven door een twaalfvlak. De omgeschreven bol hiervan is de baan van Mars.
Zo kan je een na een voortgaan met de andere planeten:
- De Marsbaan wordt omschreven door een viervlak. De omgeschreven bol hiervan is de baan van Jupiter.
- De Jupiterbaan wordt beschreven door een kubus. De omgeschreven bol hiervan is de baan van Saturnus.
- In de aardbaan is een twintigvlak ingeschreven. De hierin ingeschreven bol is die van Venus.
- In de Venusbaan is een achtvlak ingeschreven. De hierin ingeschreven bol is die van Mercurius.
Klopt dit? Eigenlijk behoorlijk goed, maar met belangrijke afwijkingen en hier start Kepler zijn aanvullend rekenwerk met ellipsen en eccentriciteiten (de planetenbanen zijn bijna cirkels met de zon bijna in het centrum).
PS: de eccentriciteit duidt aan in welke mate de ellips verschilt van een cirkel en verschilt voor elke planeet.
Zo heeft Venus met e = 0,0068 de meest cirkelvormige baan en Mercurius met e = 0,2056 de meest excentrische baan. De aarde zit daar tussenin met e = 0,0167.
Maar Kepler was nog niet aan het einde van zijn metafysisch denken.
de aarde tussen Venus en Mars
Kepler kent aan Venus de facultas seminalis toe (het vermogen tot voortplanting):
deze planeet maakt in 8 jaar 13 omwentelingen, wat 'goed' overeenkomt met de goddelijke proportie:.
De aarde bevindt zich midden tussen Venus en Mars op een plaats die je (in zijn model) kan berekenen met de goddelijke proportie uit twaalfvlak en twintigvlak.
"Dat betekent dat voortplanting precies midden die twee platonische lichamen plaatsvindt, die afstammelingen zijn van de goddelijke proportie."
Van een metafoor gesproken...
de erfenis van Kepler
Ondertussen rekent Kepler stapsgewijs verder op deze 'excentriciteiten' en herschrijft voortdurend zijn bevindingen. Keplers kosmologisch model zijn dood raakt snel vergeten, wordt ingehaald door de natuurkunde. En gelukkig heeft de ontdekking van Uranus (1781) en Neptunus (1846) niet meer meegemaakt.
Zijn waarnemingen en berekeningen zullen Keplers echte erfenis worden, bekend als 'de wetten van Kepler' en neergeschreven in 'Hemelfysica' (1609).
De ellipsen die men meestal tekent bij uitleg over de wetten van Kepler zijn helemaal niet waarheidsgetrouw, want de aardbaan wijkt maar licht af van een cirkel. De ellipsen dienen enkel om de wetten beter te begrijpen.
Toch was voor Kepler de minimale afwijking die hij waarnam voldoende om kritisch te gaan doorrekenen op zijn perfect model.
natuur
In 1608 schrijft Kepler dat 'de goddelijke proportie bijzondere aandacht verdient.'
Hij vertrekt van de rij van Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8...) waarin elk nieuw getal de som van de vorige twee getallen is. Hij legt het verband tussen
- deze rij,
- (het quotiënt van opeenvolgende termen van de rij benadert 1.618... ),
- bloemen met 5 bloemblaadjes (verwijzend naar de gulden snede),
- én de voortplanting:
alternatieve wiskundige berekening
Kepler is niet de enige die een poging deed om de afstanden van de planeten te vatten in wiskunde.
Zo is er de zgn. wet van Titius-Bode, twee 18e -eeuwse Duitse astronomen.
De formule is gebaseerd op de astronomische eenheid (gemiddelde afstand aarde - zon) en hun rangnummer.
Zij proberen dus ook een logica te vinden in rangnummer en afstand, het resultaat is een knutselwerkje van een formule die op het eerste zicht niet eens zo slecht is, maar net als het concept van Kepler totaal geen wetenschappelijke natuurwet zijn. De cijfers komen ook maar in de buurt omdat men voor Jupiter even een getalletje overslaat. En toen men later Uranus en Neptunus ontdekte werden de afwijkingen meteen veel groter. Onderstaand kan je hun resultaten vergelijken met de echte gemiddelde afstanden.
regressieanalyse
Via een regressieanalyse is het niet moeilijk om formules te vinden die een verband leggen tussen het rangnummer en de afstand tot de zon.
Voor wiskundigen:
Zelfs zonder 5 over te slaan en met de afstanden van Uranus en Neptunus heeft de exponentiële trendlijn als determinatiecoëfficiënt . Dit duidt op een prima overeenkomst, maar met 'bijna' heb je nog altijd geen natuurwet gevonden.
3e wet van Kepler
Uiteindelijk moeten we terug naar ... Kepler en zijn de 3e wet van Kepler(gepubliceerd in 1619).
Er is geen fysisch verband tussen het volgnummer van een planeet en de gemiddelde afstand tot de zon, maar wel een verband tussen de omlooptijd T en de lengte van de halve lange as a van een planetenbaan: .