Fórmula de Euler
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Variable compleja.
La fórmula de Euler es una fórmula que establece la relación fundamental entre las funciones trigonométricas y la función exponencial compleja. Dice que, para cualquier número real x, se verifica:
El físico Richard Feynman se refirió a esta igualdad como la más notable fórmula matemática.
[Nota: Una demostración sencilla se obtiene viendo que la derivada de la función es siempre 0, para cualquier valor de x. Por tanto, g es una función constante. Como g(0)=1, g(x) tiene que valer siempre 1.]
Podemos representar esta igualdad funcional en 3D. Como x no es un número complejo, sino un número real (un ángulo en radianes), podemos considerar la función (en la construcción, ) donde . La ecuación dice que esta imagen tiene por parte real el coseno y por parte imaginaria el seno de ese ángulo x.
En la vista 3D de la construcción, la parte real (coseno) es la gráfica verde (el plano XY es real), mientras que la parte imaginaria (seno) es la gráfica azul. [Nota: estas dos gráficas, verde y azul, también pueden representar los campos eléctrico y magnético de la propagación de una onda electromagnética, como la luz.]
El punto amarillo recorre la gráfica de esa función. El segmento naranja, que siempre mide la unidad, indica su módulo. En la parte derecha puedes ver la proyección de ese punto en el plano complejo YZ. El ángulo rojo representa a x (módulo 2, pues los valores de la función son periódicos). El segmento verde muestra la parte real (coseno) y el segmento azul la parte imaginaria (seno). El color del rastro del punto proyectado es proporcional al valor del coseno y el seno.
Como consecuencia de la fórmula de Euler, se obtiene (cuando x vale ) una de las más bellas y famosas igualdades matemáticas, la identidad de Euler:
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.