Conmutatividad de la multiplicación
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Una visión geométrica de las operaciones aritméticas.
Propiedades:
P1. Interna (la recta EjeX es cerrada para el producto). Para cualesquiera a y b, se verifica que a b es un número real, ya que, por construcción, el punto P pertenece al EjeX.
P2. Conmutativa. Para cualesquiera a y b, se cumple a b = b a, ya que tal producto siempre coincide, por construcción, con |OI| |OP|. (Ver la construcción.)
P3. Para cualquier valor real a, se cumple a 0 = 0, ya que si B coincide con O, P también coincidirá con O.
P4. El producto a b solo será positivo cuando a y b sean ambos positivos o negativos, ya que, por construcción, el signo de P solo será positivo cuando b y la pendiente de rAB tenga signos opuestos.
P5. Asociativa. Para cualesquiera a, b y c, se cumple (a b) c = a (b c), ya que, por construcción, ambos productos serán iguales a |OA| |OB| |OC| y, por la propiedad anterior, tendrán el mismo signo.
P6. Existe elemento neutro (1). Para cualquier a, se verifica que a 1 = a, ya que si B coincide con I, la recta rAB coincide con la recta rA.
P7. Simétrico respecto al producto (inverso). Para cualquier a distinto de 0, se cumple a a-1 = 1, ya que, si A no coincide con O, |OA-1| |OA| = |OI| y, por la construcción de A-1, el signo de a-1 será siempre el mismo que el de a.
P8. El inverso de a tiene el mismo signo que a, por construcción, como ya hemos visto en la propiedad anterior.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.