多角形の線分の交点と共線
このページはマス旅の一部です。
今回は「多角形の線分の交点と共線」を観察してみよう。
１．ウォーミングアップ
ウォーミングアップ
多角形の基本は三角形です。
三角形の特定の点・線・比と言えば、チェバ・メネラウスの定理が基本ですね。
＜チェバちぇん＞
三角形ABCの内部に点Pをとり、AP、BP,CPを結びます。
Pの先まで延長して、AP、BP,CPの対辺とのぶつかる点をD,E,Fとしましょう。
すると、分数A分のBをB/Aとスラッシュで表示すると、
「AF/FB・BD/DC・CE/EA＝１」
左から順に新出点を並べると、A→F→B→D→C→E→（Aにもどる）「一筆書き」で
覚えましょう。
スタート頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点
→ゴール＝スタート。
チェバちゃんは一番ポピュラーで証明も簡単です。
△APB,△BPC,△CPAの面積をx、y、z
とおくと、
共通底辺の三角形の高さ比＝面積比が使えます。
BD/DC＝△BDA/△DCA=△BPA/△PCA=x/z
CE/EA＝△CEB/△EAB=△CPB/△PAB=y/x
AF/FB＝△AFC/△FBC=△APC/△PBC=z/y
図形を見なくても、
「2頂点の分点比⇒対頂点を入れた面積比⇒分点をPにした面積比」
という手順で、機械的にx、y、zの2数を使った分数に直せますね。
この３つの分数の積は分子も分母もxyzだから、積＝１となる。
＜メネラウスくん＞
チェバちゃんは三角形の頂点から3対辺線を引きましたが、
メネラウスくんは三角形の頂点を通らずに1本の横切る線を引きます。
三角形ABCのAB上にF、AC上にEをとり、FEの延長とBCの延長の交点をDとしよう。
すると、チェバちゃんと同じ式ができます。
「AF/FB・BD/DC・CE/EA＝１」
左から順に新出点を並べると、A→F→B→D→C→E→（最後にAにもどる）「一筆書き」で
覚えましょう。スタート頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点→ゴール＝スタート。
△ECD,△EAD,△EBDの面積をx、y、zとおくと、
CE/EA=△CED/△EAD=x/y
AF/FB=△AFD/△FBD=△AED/△EBD=y/z
BD/DC=△BDA/△DCA=△BDE/△DCE=z/x
この３つの分数の積は分子も分母もxyzだから、積＝１となる。
チェバちゃんがADとCF交点がPであり、APの延長にEがあったのに比べると、
DFとACの交点がEであるということで、7点目のPをない
というのがメネラウスくんの特徴だね。
＜ラウスくんの７分の１＞
三角形ABCのAB、BC、CAを１：２に分ける点をF,D,Eとする。
CFに対してBE,ADの交点をH,Iとする。ADとBEの交点をGとする。
三角形GHIは三角形ABCの７分の１になる。
証明の流れはこうだ。
三角形ACIが７分の２とわかれば、7分の１はすぐわかる。
ADがIで３：４に分かれることが言えれば、三角形ACIが７分の２はすぐわかる。
まず、三角形ABCにADとCFだけをかき、交点IとBを結ぶ。
三角形ABDでメネラウスくんの一筆書きを使うと、AF/FB・BC/CD・DI/IA=1/2・(1+2)/2・DI/IA=1から、DI:IA=4:3。
三角形ACDは三角形ABCの(1+2)分の2だから、三角形AHIはその(3+4)分の3で、2/3・3/7=2/7。
「図形の対称性」から、2/7=△ACI＝△CBH＝△BAG。
△GHI＝1-2/7・3=1/7。
＜ラウスくんの別解＞
メネラウスくんを使わないやり方にしてみよう。
対象の三角形の3頂点を順になぞり、頂点の間には分点を通るという
一筆書きに慣れていない人や慣れたくない人用だ。
まず、三角形ABCにADとCFだけをかき、交点IとBを結ぶところは同じ。
三角形AIF、BIFの面積をそれぞれ、x、2xとおこう。
「底辺共通の三角形の面積比＝高さ比」が使える。
合計3xだから、BD；DC＝1:2より、三角形AIC＝3x*2=6xとなる。
次にAF：FB＝1:2だから、三角形CIB＝6x×2=12xとなる。
また、BD；DC＝1:2に着目すると、三角形CID＝12x÷(1+2)*2=8x
これから、CI：IF＝三角形CIA：IFA＝6x：x＝6:1
DI：IA＝DIC：IAC＝8x:6x=4:3となる。
ここまでがウォーミングアップ。
２．ラウスの定理の一般形
＜一般のラウスの定理＞
三角形ABCのBC、CA、ABをそれぞれ１：ｘ,１；ｙ,１；ｚに分ける点をD,E,Fとする。
CFに対してBE,ADの交点をQ,Rとする。ADとBEの交点をPとする。
三角形PQRは三角形ABCのr倍になる。
r=(xyz-1)^2/{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}
三角形ABDでメネラウスを使うと
AR/RD・DC/CB・BF/FA＝AR/RD・x/(1+x)・z/1=AR/RD・xz/(1+x)=1より、
AR:RD＝(1+x):xz, AR/AD=(x+1)/(xz+x+1)。
三角形ACRは三角形ABCのDC/BC倍のAR/AD倍だから、△ACR=x/(x+1)・(x+1)/(xz+x+1)=x/(xz+x+1)
「図形の対称性」から、BP/BE=(y+1)/(yx+y+1)、CQ/CF=(z+1)/(zy+z+1)となるので、同様にして、
△CBQ=y/(yx+y+1),△BAP=z/(zy+z+1)。
だから、
三角形PQR=1-{x/(xz+x+1)+y/(yx+y+1)+z/(zy+z+1)}
=[(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)-{x(yx+y+1)(zy+z+1)+y(xz+x+1)(zy+z+1)+z(yx+y+1)(xz+x+1)}]
/{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}
よって、分子が(xyz-1)^2であることがわかればよい。
ゴリゴリ計算すればよいが、見通しを立てると理由がわかる。
対称性がある式なので、x,y,zをあえて同一視してXとすると、
分子の前半は(X^2+X+1)^3だから、係数分離で計算すると、111＊111＊111＝12321*111=1367631
分子の後半は3X(X^2+X+1)^2=3*10*111*111=30*12321=369630
[1,3,6,7,6,3,1]-[3,6,9,6,3,0]=[1,0,0,-2,0,0,1]
6次と0次の係数が１で3次の係数がー2だ。x,y,zに戻して照合すると、
x^2 y^2 z^2- 2xyz + 1=(xyz-1)^2
となるという予想がたつ。
その上で、次数ごとに確認作業をすると、
この３項以外はピッタリ一致して消えることがわかる。
目が疲れるだけなので、具体的な計算の記述は省略する。
x=y=z=2にすると、r=7^2/7^3=1/7となる。
x=y=z=1にすると、r=0となるので、チェバの定理の3線がPで交わることがわかるね。
ラウスの定理は計算問題として入試問題によくでるけれど、チェバの拡張版になっている
ともいえるね。
ラウスの定理
３．オイラーさん登場
＜双心三角形のオイラー公式＞
1つの三角形についてのオイラー公式とは、
内心円の半径ｒ、外心円の半径Rと中心間距離dについて、
R^2-d^2=2rR
「証明」（初等幾何の合わせ技）
三角形ABCの角Aの半分をa,角Cの半分をcとしよう。
内心をI、外心をOとする。
CMと外心円の交点をD、
MOと外心円の交点で、Oから見てOよりをE,反対がわをFとする。
（2等辺三角形の発見）
Iが内心円の中心であることから、
CIは角ACBの2等分線になり、円周角の性質から、角DAB=角DCB＝角ACD＝c.
AIは角CABの2等分線になり、角CAI=角BAI＝a.
すると、三角形AIDにおいて、角IAD＝c+a,
角AIDは三角形ACIの外角だから角AID＝a+c.
2底角が等しいのでAD=IDとなる。
（円周角からの相似利用）
外心円の直径がDOHとなるように点Hをとる。
内心円と辺BCの接点をPとする。
円周角の性質から、角AHD=角ACD=ｃ
直角三角形ICP、DAHは角Cと角Hがcで等しいから相似となる。
相似比はAD：ｒ＝２R：IC。これから、AD＊IC＝2rR
ID=ADだから、2rR=ID*IC
（方べきの定理）
一方で、ID＊ICといえば、方べきの定理から、IF*IEに等しく、
ID＊IC＝IF*IE＝(R+d)(R-d)=R^2-d^2
以上から、R^2-d^2＝2rR
＜オイラー線＞
外心O、垂心H、重心Gが共線になる。この線をオイラー線という。
しかもOG:GH＝１：２
「証明１」（中点連結と相似）
ABの中点をMとし、OとMを結び。
直径がBDとなるようにDをとる。
CHはHが垂心だからABと垂直。三角形ABDはBDが直径だから角Aが直角。
さらにM,Oは三角形ABDの辺の中点だから、MOとADは平行で、M0:AD＝１：２。
以上より、ADとHCは平行になる。
また、BDが直径だからDCはBCと垂直で、Hが垂心だからAHとBCは垂直。
これから、AHとDCは平行になる。
以上から四角形ADCHは平行四辺形。
これより、AD＝HC
MOとHCに着目すると、平行で長さが１：２となる。
ここで、MCとOHの交点をGとすると、
三角形MOGと三角形CHGが相似で相似比が１：２だから、
Gは三角形ABCの中線CMを２：１に比例配分しているから重心だ。
ということは、O,G,Hが一直線上にある。
「証明２」（ベクトルの定数倍）
三角形ABCの各頂点の位置ベクトルをa,b,cとし、基準点は外心Oとする。
カッコ内は位置ベクトルで、3点外心O(o)E,垂心H(h)、G(g)をくらべる。
Hは垂心で、３点O,H,Gを通る線はオイラー線と呼ばれている。
h=a+b+c、g=1/3(a+b+c)
外心の定義から,|a|=|b|=|c|＝R
AH・BC=(h-a)(c-b)=(a+b+c-a)(c-b)=(b+c)(b-c)=|b|^2-|c|^2=0
AH＝0なら、BCが直径だから、Aが垂心Hとなる。AH≠0なら、AH⊥BC。
同様にして考えると、
AHもBHもCHもゼロでない一般の位置ならば、垂心の位置ベクトルh=a+b+c。
としてよい。h=a+b+c、g=1/3(a+b+c)から、OH=3OGから、O,G,Hが一直線上にある。
しかも、OG：GH＝１:(3-1)=1:2。
（一般の位置にないときは、例えば、BCが直径でA＝Hで、重心GはOAを１：２に分けるので、
OG：GA＝OG:GH＝１：２でO,G,H（A)は外接円の半径に並ぶから、例外なく成り立つ）
４． ニュートンさん
＜ニュートン線＞
オイラー線に負けず？ニュートンさんも頑張る。
円に外接する四角形の2本の対角線の中点を通る線をニュートン線
という。
四角形をABCDとする。ACの中点をN,BDの中点をMとする。
ニュートン線には２つの性質がある。
１．四辺形が内接円をもつとき、内接円の中心Oがニュートン線にある。
２．四角形の対辺を延長してできる2交点E,Fの中点Lがニュートン線にある。
「１の証明」（1次方程式の軌跡）
四角形をｘｙ座標辺面上にかく。
四角形ABCDの面積を2Sとし、四角形ABCDの内部の点をPとする。
Pの座標が(x0,y0)で、ABの方程式がax+by+c=0なら、PからABに下した高さは|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)|
となる。だから、△ABPの面積はx0、y0の1次式で表せる。同様に△CDPの面積もx0、y0の一次式で表せる。
AB,CDは固定の長さで、直線の係数a,b,cも定数。したがって、△ABPと△CDPの和はS（P)は、x0とy0の1次式になる。
内接円の半径をｒとし、四角形の周をAB+BC+CD+DA＝2Lとすると、1/2 r(AB+BC+CD+DA)=rL=2S
PがNのとき、S(N)=△ABN+△CDN=1/2(△ABC＋△ADC)＝1/2(2S)=S=Nの座標の1次式
PがMのとき、S(M)=△ABM+△CDM=1/2(△ABD＋△CBD)＝1/2(2S)=S=Mの座標の1次式
PがOのとき、S(O)=△ABO+△CDO=1/2(AB*r＋CD*r）=1/2r(AB+CD)==1/2rL=S =Oの座標の1次式
この３つの1次式は計算のもとになるABの方程式、CDの方程式、点から直線までの長さを求める式、
そこに使う係数はすべて等しく、値もSになるので、まったく同じ１つの直線の方程式になる。ちがうのは、N,M,Oの座標だけだ。
「f(P) = S」を満たす点 P(x, y)の集合は同じ1つの直線（一次方程式）を表すため、この条件を満たす3点 N, M, Oは必ず同一直線上にあるね。
「２の証明」（ベクトルの定数倍）
Dを位置ベクトルの基準0とし、カッコを位置ベクトルとする。
A(a),C(c),N(0.5 a + 0.5 c),B(p a + q c),M(0.5p a + 0.5q c)
対辺DC、ABの交点をFとするとDF=kc=OA+sAB=a+s(B-A)=a+s(pa+qc-a)=(1+sp-s)a +sq c=k c
aとcは独立ベクトルだから、1+sp-s=0,sq=k s=1/(1-p)となる。だから、F=q/(1-p) c
対辺CB、DAの交点をEとするとDE=ma=c+sCB。AとC、p,qの対称性から、E=p/(1-q) a
これから、E,Fの中点Lは1/2{p/(1-q) a + q/(1-p) c}
ベクトルML=1/2{p/(1-q) a + q/(1-p) c}-(0.5p a + 0.5q c)=0.5{(p/(1-q)-p) a + (q/(1-p) -q)c}
=0.5{p(1/(1-q)-1) a + q(1/(1-p) -1)c}=0.5{p(q/(1-q))a + q(p/(1-p))c}=pq/2{1/(1-q)a+1/(1-p)c}
=pq/{2(1-q)(1-p)} [(1-p)a+(1-q)c}
一方で、ベクトルMN＝0.5 a + 0.5 c-(0.5p a + 0.5q c)=1/2{(1-p)a+(1-q)c}
だから、ML：MN=pq/{2(1-q)(1-p)} ：1/2= pq:{(p-1)(q-1)}。
MLはMNの実数倍だから、M,N,Lは必ず同一直線上にあるね。
５．パッポスさん
＜パッポスの定理＞
2つの直線 l, mがあり、直線 l上に3点A,B,Cをとり、直線 m上に3点D,E,Fをとる。
このとき、クロスするように交差させた3交点を、
直線 AEと BDの交点を P
直線 AFと CDの交点を Q
直線 BFと CEの交点を Rとすると、
3点 P,Q,Rは必ず同一直線上（パッポス線）に並ぶ。
「証明」
（基礎知識）
射影幾何で2次元の点ベクトルを同次座標のベクトルにします。
3点のベクトルA,B,Cを適当にスケーリングするとA+B+C=0となるのは、
ベクトルの従属、つまり、3点A,B,Cの共線を表します。
（実行）
3点の共線から、A+B+C=0、D+E+F=0
また、2点のベクトルのスケーリングの調整で和・差によって
直線上の点を表わすことができ、
直線上の点＝直線上の点となる点が2直線の交点だから、
A-E=B-D=P, A-F=C-D=Q ,B-F=C-E=R
点ベクトルの和は(A-E)+(C-D)+(B-F)=P+Q+R。
左辺のベクトルの合計＝A+B+C-(D+E+F)=0-0=0です。
以上からP+Q+R=0（共線）