Razones de segmentos y áreas determinados por dos transversales
Dado un △ABC y dos transversales PM y QN que se cortan en el interior del triángulo y que determinan en los lados segmentos de proporciones conocidas, ¿cómo pueden determinarse los segmentos determinados por su punto de intersección y las cuatro áreas en que dividen al triángulo?
Puede hacerse por geometría de masas, situando en cada vértice masas adecuadas para que el punto R de intersección de las transversales sea el centro de gravedad de los tres vértices.
Sean p, q y r proporcionales a los segmentos en que las transversales dividen al lado a, y m y v de un lado, y n y w del otro, a los segmentos en que dividen a los lados b y c, como se ve en la figura.
Las masas en B y en C conviene dividirlas en dos partes, BA y BC para B, y CA y CB para C, de manera que M sea el baricentro de A y CA, y P el de B y CB de una parte. Y de otra, que N lo sea de de A y BA mientrás Q lo es de C y BC. De esta forma, R es el baricentro común de M y P de un lado, y de N y Q de otro, cuando las masas se reagrupan de la forma indicada. Para calcular las masas podemos plantear el sistema de ecuaciones:
wA = nBA
vA = mCA
p(BA + BC) = (q+r)CB
q(CA + CB) = (p+r)BC
Reolviendo este sistema de ecuaciones lineales respecto de BA, BC, CA y CB, obtenemos:
BA = wA/n
CA = vA/m
BC = q(nqv + mpw + nrv)A/(mnr(p + q + r))
CB = p(nqv + mpw + mrw)A/(mnr(p + q + r))
Tomando entonces A = mnr(p + q + r) para eliminar denominadores, nos quedan las masas utilizadas en la figura.
La fracción de área correspondiente a △Tr se calculo como:
△Tr = (r/(q+r))(PR)/(PR+RM))△MPC = (r/(q+r))(PR)/(PR+RM))((q+r)/(p+q+r))(m/(m+v))△ABC
y a continuación:
SB = △NBQ - Tr
SC = △MPC - Tr
SA = T - SB - SC + Tr