Função do 2º grau: entendendo os seus coeficientes
Entendendo os coeficientes a, b e c da função do 2º grau f(x) = ax²+bx+c, com a diferente de zero.
01) Mexa nos seletores "a", "b" e "c", à vontade. Mas observe, neste primeiro momento, principalmente, os coeficientes "a" e "c".
Por estarmos estudando uma função do 2º grau , , temos que considerar que "a" não pode assumir o valor zero, caso contrário, teremos uma função do 1º grau (teste: tome "a = 0").
Note que, aos mexer nos seletores do aplicativo abaixo, o gráfico da função do 2º grau vai sendo alterado, bem como a sua lei, a sua concavidade e as interseções de cada parábola com os seus eixos, bem como as coordenadas do vértice.
Dica: Clique com o mouse (ou toque com com o dedo) as setas que ficam no canto superior direito caso queira que o aplicativo volte ao ponto inicial.
02) Agora vamos entender o coeficiente b.
Bom, quando estudamos as funções do 2º grau, e, após mexermos no aplicativo anterior, percebemos (ou revisamos) que o coeficiente "a" está relacionado com a concavidade da parábola, e o coeficiente "c" translada o gráfico verticalmente.
Mas qual a influência do coeficiente "b" no gráfico da parábola?
Para visualizar qual a influência do parâmetro "b", só mexa neste parâmetro e tome valores fixos para "a" e "c". Por exemplo: tome a = 1 e c = 4, e "b" variando (ou seja, mexa só no seletor "b").
Observe o caminho descrito pelos vértices "V" provocado pela variação do (seletor) "b".
Ou ainda, clique no botão "play" (imagem que aparece no aplicativo abaixo, próximo ao gráfico e no canto inferior esquerdo), e observe!
Observação: ao fazer tomar a e c fixos e fazer b variando, vemos diversas parábolas que chamamos de família de parábolas. Neste caso, tomamos, por exemplo, a = 1 e c = 4 eb variando.
Questão 01:
Este "caminho" sugere intuitivamente alguma "curva", que seria semelhante ao gráfico de
3) Independente se você acertou ou não a questão anterior, você deve estar curioso para visualizar, enfim, este "caminho".
Então, siga os seguintes passos: [1] clique no botão "play" , ver a imagem que aparece no aplicativo abaixo, e observe; [2] na caixa "Mostrar o lugar geométrico (caminho) provocado pela variação de b"; e confira!
Nota: Lugar geométrico é um conjunto de pontos que tem uma propriedade em comum, que pode ser uma equação, por exemplo.
Desafio 01: Tomando a =1, c = 4 e b variando, seria possível determinar a equação deste "lugar geométrico", ou seja, seria possível determinar a equação desta "curva". Desta forma, responda a questão a seguir.
Questão 02:
A curva que representa o caminho percorrido pelos vértices tem equação igual a
Desafio 02: Agora tome a =1, c = 1 e b variando, seria possível determinar a equação deste "lugar geométrico", ou seja, seria possível determinar a equação desta "curva". Desta forma, responda a questão a seguir.
Questão 03:
A curva que representa o caminho percorrido pelos vértices tem equação igual a
Quase Generalizando...
Agora vamos pensar de forma geral como seria a equação da curva que representa o caminho pelos vértices das parábolas , e variando. Note que e e o coeficiente está variando.
Observação: Note que para cada temos uma parábola, e como está variando no conjunto dos reais, teremos uma família de parábolas.
Questão 04:
Você saberia determinar a equação geral da curva que representa o caminho dos vértices da família de parábolas ?
Questão 05: Generalizando....
De forma mais geral, determine a equação do lugar geométrico dos vértices de uma família de parábolas , em que e são mantidos constantes e varia.