Croix de Jérusalem fractale
- Auteur :
- Christian Mercat
Dessiner dans un carré une croix. Elle détermine quatre moyens carrés haut-droite, bas-droite, bas-hauche, haut-gauche et quatre petits carrés milieu, en haut/bas et droite/gauche. Itérer le processus en s'arrangeant pour que les quatre petits carrés soient de la même taille que les 4x4=16 carrés moyens de l'étape 2.
Il y a 1 croix à l'étape 1, 4 à l'étape 2, combien y-en-a-t'il à l'étape 3? À l'étape n?
Appelez x le rapport des homothéties envoyant le dessin sur une de ses quatre moyennes copies. Quel est alors le rapport des homothéties l'envoyant sur les vingt petites copies en fonction de x? Quelle équation vérifie x? Si le carré a une aire de 1, quelle est l'aire après avoir enlevé la grande croix, les quatre moyennes, les vingt petites? Quelle est l'aire restante à l'étape n?
Découper au laser son tapis de Sierpinski, Aurélien Alvarez, Images des Mathématiques