Reparto proporcional directo e inverso (compuesto)
Situación de ejemplo
La cocinera Ana y su pinche de cocina Pedro han cocinado 60 pasteles en su obrador en cierto tiempo.
- Pedro puede hacer unas 3 bandejas de pasteles en 75 minutos.
- Ana prepara unas 4 bandejas en 50 minutos.
- si bien, cuanto más tiempo tarde una persona en preparar las bandejas, menos pasteles puede tener listos en un número de horas determinado. Es decir, el reparto es inversamente proporcional al tiempo.
- también es cierto que cuantas más bandejas prepare, obviamente más pasteles preparará en ese número de horas. Esto es, el reparto es directamente proporcional al número de bandejas.
- Pedro va a una velocidad de , mientras que Ana las prepara a una velocidad de .
- La relación entre pasteles y velocidad es directa (cuanto más rápido preparen las bandejas, más pasteles terminarán en cierto tiempo), así que podemos hacer un reparto directamente proporcional.
- Al ser proporcional, podemos simplificar multiplicando estas cantidades por el número que queramos; en este caso 100 (o, mejor, ), y hacer el reparto proporcional a 4 y 8, con lo que Ana hará el doble de pasteles, y podemos concluir que Pedro habrá hecho 20 y Ana 40.
- ¿Qué hemos hecho al razonarlo así?
- En los pasos 1 y 2 hemos combinado las dos magnitudes: bandejas y tiempo, multiplicándolas, pero primero invirtiendo (dividiendo) el tiempo, pues la relación era inversa.
- Así, en el paso 3 hemos podido resolverlo como un reparto directamente proporcional, aplicando la técnica que nos pareciese más conveniente.
Forma de trabajar
Pulsa en el botón "¡Comenzamos!" para empezar a resolver tus propios ejercicios
- Pulsando en "pista", los ejercicios muestran la solución paso a paso, así que puedes usar los primeros ejercicios para aprender a plantear y resolver.
- Conforme vayas haciendo más problemas, te resultará más fácil y, poco a poco, no necesitarás la ayuda del applet.
- Aunque se asignan puntuaciones a los ejercicios, debes resolverlos por tu cuenta en tu libreta, procurando que el proceso se entienda bien y sea fácil de leer. Por ejemplo, usando tablas como las del applet. Presta mucha atención a la justificación que incluyes de por qué la relación es directa o inversa. La puntuación máxima es 10. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser verde.
- Un buen consejo podría ser comenzar estructurando en la libreta los datos del enunciado, indicando en líneas separadas o en forma de tabla, la cantidad a repartir, entre quiénes se reparte y los valores de las magnitudes involucradas.
- Para entender mejor los ejercicios, te vendrá bien probar con alguna de las ampliaciones que se indican más abajo (apartado "Saber más").
Observa
En la proporcionalidad compuesta, multiplicamos las variables para trasladarlo a un problema de proporcionalidad directa. Además, si alguna de ellas estaba relacionada de forma inversa, primero hay que calcular su inverso.
El resultado es que las variables directamente proporcionales aparecen multiplicadas (en el numerador), y las inversamente proporcionales aparecen en el denominador (también multiplicadas entre sí). En en la siguiente ficha puedes ver ejercicios de proporcionalidad compuesta (clic para ir) y en esta otra, ejercicios resueltos mediante la constante de proporcionalidad (clic para ir).
Como hemos visto en la situación de ejemplo y en los ejercicios del applet, esto mismo se puede aplicar a los repartos proporcionales para calcularlos cómodamente con el método que utilicemos habitualmente para resolver repartos proporcionales.
Saber más
Para aprender más de estos ejercicios, te proponemos fijarte en algunas cosas:
- Podemos obtener más información de la que se nos pregunta.
Por ejemplo, si nos dicen que hemos comprado 15 litros de aceite, y sabemos que 5 litros valían a 8€/kg y los otros 10 a 12€/kg, podemos ya calcular:
- Cuánto dinero nos hemos gastado en cada tipo de aceite 5·8=40€ en el primero y 10·12=120 en el segundo.
- Cuánto dinero nos hemos gastado en total. En este caso, 40+120=160€.
- El precio medio al que hemos comprado ese aceite. En este caso, =10,67€/litro.
- Realmente, no es necesario reducir a común denominador antes de hacer el correspondiente reparto de proporcionalidad directa.
- Por ejemplo, podríamos hacer las divisiones con la calculadora y operar con los números decimales obtenidos (es decir, indicar 0,5 en lugar de 1/2, o 0,33 en lugar de 1/3 y así no tener que reducir a denominador común, que sería 6).
- Prueba a resolver así alguno de los ejercicios, pero avisa primero a tu profesor/a e indica en la libreta que ese ejercicio lo vas a resolver operando con decimales.
- Los enunciados se han generado un poco "al azar" para que resulten cálculos no muy complicados. Puede que encuentres algún problema en el que los datos no te cuadran con la realidad. No te preocupes; apúntalos para debatirlo en clase y propón algún ajuste que podría haber en esas cantidades (no hace falta resolverlo con esos nuevos números).
Nuestro turno
Cuando ya sepamos resolver este tipo de ejercicios, conoceremos un poco cómo se estructuran.
Es el momento de plantear y resolver nosotros un problema de reparto inversamente proporcional.
Tendrás que entregarlo junto con el resto de problemas resueltos en la libreta.
Debes elegir una situación diferente a las que aparecen en el applet (por ejemplo, no vale una en que llenemos un depósito con varios grifos).
Como ayuda, aquí tienes un pequeño guion:
- Asegúrate de que hay tanto proporcionalidad directa como inversa inversa.
- Establece los valores de las magnitudes entre las que hay que repartir.
- El valor del total a repartir lo dejaremos para el final.
- Elige números sencillos para los denominadores, porque luego habrá que calcular su MCM para reducir a denominador común.
- Resuelve la parte de simplificar los coeficientes reduciendo a denominador común, y calcula el correspondiente total.
- Multiplica ese total por algún número sencillo, como 2, 3 o 10, y establece ese número como "total a repartir".
- ¡Ya tienes los datos del problema junto su solución! Intenta que la redacción del problema resulte original. Redacta también la solución, incluyendo cómo justificas que la relación es inversa.
Referencias
Imágenes del programa CREA (CC BY-SA)
y los iconos de openclipart (public domain):