Explorando números figurados

Reconhecendo padrões em sequências de figuras

Dizemos que números, letras, figuras ou outros símbolos, estão organizados em uma sequência quando seguem uma regra, chamada padrão de formação. Quando conhecemos este padrão, podemos determinar o termo faltante na continuidade de uma sequência, ou mesmo qualquer um de seus termos, expressando-o verbalmente ou por escrito. Observe este exemplo de sequência. Na figura abaixo, clique em Iniciar e em seguida clique em Animar.

Números triangulares

Observe o número de círculos que compõe cada triângulo e complete a tabela abaixo:

1) Quantos círculos são necessários para obter o oitavo triângulo?

Verifique sua resposta

2) É possível construir um triângulo com 50 círculos? Justifique.

3) Existe uma relação entre o número de círculos e a quantidade de quadrados formados? Justifique.

Agora, observe que:

Em termos matemáticos, sendo Si correspondente a cada triângulo (assim, S₁ está relacionado ao primeiro triângulo, S₂, ao segundo etc.), teremos os seguintes números triangulares: S₁ = 1 S₂ = 1 + 2 = 3 S₃ = 1 + 2 + 3 = 6 S₄ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 S₅ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 … S_n = 1 + 2 + 3+ 4+ ......+ n Portanto, os números triangulares podem ser obtidos pela soma dos termos de progressões aritméticas de números naturais com razão 1 e primeiro termo 1. Assim, os números triangulares podem ser obtidos pela expressão:

Onde:
S[sub]n [/sub]= soma dos termos
a[sub]1[/sub] = primeiro termo
a[sub]n[/sub] = último termo
n = quantidade de termos — Onde: S_n= soma dos termos a₁ = primeiro termo a_n = último termo n = quantidade de termos

4) Considerando a sequência de números triangulares que foi apresentada, o número de círculos necessários para formar o 100º triângulo, é:

5) Em uma brincadeira com palitos de fósforo, Elisa montou as figuras em etapas. Na 1ª etapa, montou um triângulo e, nas etapas seguintes, foi acrescentando triângulos conforme a sequência representada a seguir.

Continuando a sequência, segundo essa mesma regra, quantos palitos serão necessários para construir o quinto termo da sequência?