Véletlen felezőpontok
A probléma:
Legyen adott az ABC háromszög, továbbá P0 a sík egy tetszőleges pontja!
Képezzük a P0, P1, ... Pn-1, Pn, ... pontsorozatot úgy, hogy Pn legyen a Pn-1V szakasz felezőpontja, ahol V a háromszög csúcsai közül véletlenszerűen választott pont. (Ezt a választást minden lépésben megismételjük.)
Milyen megállapítások tehetők a kapott pontsorozatról?
Amikor először hallottam erről a problémáról, azt gondoltam, hogy a háromszöglap bármely pontja egyenlő valószínűséggel fordulhat elő a pontsorozatban. De ha ez így lenne, akkor nem lenne érdekes ez a probléma, és - bizonyára - nem említette volna meg nekem Szilassi tanár úr.
Ez után arra gondoltam, hogy modellezni kellene a problémát a GeoGebrával. Akadályba ütköztem, mert nem tudtam véletlen pontsorozatot generálni. A segítség - mint ahogy szokott - a probléma felvetőjétől érkezett:
- A pontok véletlen generálását a bal alsó sarokban levő gombra kattintva lehet elindítani.
- A generálást ugyanerre kattintva lehet megállítani.
- A háromszög csúcsainak elmozdításával lehet újra kezdeni a pontsorozat létrehozását.
- Ha türelmesek vagyunk, és elég sokáig várunk akkor eljuthatunk a sejtéshez.
Ismerős az ábra, amit kaptunk? Láttunk már ilyet valahol?
Sierpinski-háromszög
Sejtés
Annak valószínűsége, hogy vizsgált pontsorozat majdnem minden tagja eleme az Sierpinski-háromszögének, 1.
Most már "csak" a fenti sejtés bizonyítása maradt hátra ...
Gondolatok a bizonyításhoz:
- Annak valószínűsége, hogy a pontsorozat minden tagja az külső pontja nulla.
- Ha a sorozat egy tagja az belső pontja, akkor az azt követő tagok mindegyike belső pont.
- Ha egy csúcs és egy pont által megadott szakasz felezőpontját vesszük, akkor a csúcsra vonatkozó arányú középpontos hasonlóságot alkalmazunk.
- Mi az háromszöglap valamelyik csúcsra vonatkozó középpontos hasonlósággal kapott képe?
- Mi az így kapott kép valamelyik csúcsra vonatkozó középpontos hasonlósággal kapott képe?
- Segíthet a következő?
Tóth Julianna tanárnő gondolatai a problémáról
