Bizirkulare Quartiken - Die Formeln
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene (17.Juni 2021)
Zusammenhänge - in Kurzfassung:
Eine komplex-differenzierbare Funktion , welche einer elliptischen Differentialgleichung
des Typs genügt
ist eine doppelt-periodische elliptische Funktion, wenn die "Brennpunkte" verschieden sind.
Die Lösungskurven bzw. sind
konfokale bizirkulare Quartiken, wenn die absolute Invariante der Brennpunkte reell ist.
Bizirkulare Quartiken sind implizit durch Gleichungen des Typs gegeben:
- mit linearem , quadratischem und reellen Koeffizienten.
Die reell 9-dimensionale Klasse dieser Kurven ist invariant unter Möbiustransformationen.
Das Produkt zweier Kreisgleichungen ist eine spezielle b i z i r k ulare Quartik.
Sonderfälle: (*) 2 der Brennpunkte fallen zusammen; wählt man diesen doppelt-zählenden Brennpunkt als , so sind
die Lösungskurven konfokale 2-achsige Kegelschnitte. Eine Lösung der Differentialgleichung ist
zB. ; auch oder führen zu konfokalen Kegelschnitten: sin, cos, sinh.
(**) ein 3-facher Brennpunkt, gewählt als , ergibt konfokale Parabeln.
(***) 2 doppelt-zählende Brennpunkte, bzw. ein 4-fach zählender Brennpunkt führen auf das Quadrat eines Kreisbüschels.
Normalformen:
Ist die absolute Invariante reell und nicht-negativ, so sind die Brennpunkte konzyklisch. Sind sie verschieden,
so besitzen die 2-teiligen Lösungs-Quartiken 4 orthogonale Symmetrie-Kreise, einer davon ist imaginär.
In Normalform sind die Koordinatenachsen und der Einheitskreis die Symmetrie-Kreise.
Die Brennpunkte liegen auf einem der Symmetrie-Kreise.
Ist , so besitzen die 1-teiligen Lösungs-Quartiken 2 Symmetrie-Kreise, die 4 Brennpunkte liegen
paarweise spiegelbildlich auf diesen.
In Normalform sind die Koordinatenachsen die Symmetrie-Kreise, die Brennpunkte liegen auf diesen.
Brennkreise - doppelt-berührende Kreise:
Die 4 Brennpunkte werden aufgeteilt in 2 Punkte-Paare: für die 1-teiligen Quartiken in die beiden spiegelbildlichen Punkte-Paare,
für die anderen Fälle ist jede Aufteilung möglich (!).
Es ergeben sich jeweils 2 Kreisbüschel: für 1-teilige muss eines elliptisch, das andere hyperbolisch sein,
in den anderen Fällen sollten die Büschel vom gleichen Typ sein. Bei zusammenfallenden Brennpunkten ist ein
geeignetes parabolisches Kreisbüschel möglich.
Durch fast jeden Punkt der Ebene geht aus jedem der beiden Kreisbüschel genau ein Kreis: "Brennkreis".
Die Quartiken sind Winkelhalbierende dieser Kreise, die Symmetrie-Kreise der beiden Büschelkreise sind
doppelt-berührende Kreise, oder die Orthogonalkreise zu diesen! Hierzu ein Hinweis in den Bemerkungen unten.Die Formeln:
Die impliziten Gleichungen der bizirkularen Quartiken In Normalform:
Fälle:
- : 2-achsige Kegelschnitte;
- : 2-achsige Kegelschnitte, invertiert am Einheitskreis;
- : 2-teilige bizirkulare Quartiken;
- : 1-teilige bizirkulare Quartiken.
Scheitel:
Schnittpunkte mit dem Einheitskreis : ;
Diese Schnittpunkte werden, falls sie existieren, in geogebra berechnet mit reell-rechnender Wurzel!
Sind die Achsenschnittpunkte vorgegeben, so lassen sich die Koeffizienten berechnen:
und / oder , wobei zur Abkürzung gesetzt sei.
Die Brennpunkte:
Konfokale Quartiken durch p0:
, , und vorgegeben. Zusammenhang zwischen den Koeffizienten der konfokalen Quartiken:
. Zu lösen ist die quadratische Gleichung für :
Die 2 Lösungen liefern die 2 orthogonalen Quartiken durch p0. Bemerkungen:
Das Applet oben verwendet die angegebenen Formeln, die Fallunterscheidungen erfordern
mitunter aufwendigen Einsatz der Logik.
Obwohl im geogebra-Handbuch angegeben wird, dass geogebra komplexe Zahlen nicht unterstützt,
kann man die fantastische Fähigkeit von geogebra, zwischen reellen und komplexen Funktionen zu
unterscheiden, sehr produktiv nutzen:
- sind die Radikanden erkennbar reell, so ergeben sich für negative Radikanden keine Lösungen;
- für erkennbar komplexe Radikanden dagegen, zB. mit dem Trick , werden auch komplexe Lösungen
angezeigt!
Leider sind in geogebra keine elliptischen Funktionen implementiert: man kann weder die Weierstraßsche -Funktion
noch die Jacobischen elliptischen Funktionen in geogebra so anzeigen, wie es etwa für , oder möglich ist
- siehe das Kapitel Spezielle komplexe Funktionen.
Die konfokalen bizirkularen Quartiken lassen sich daher nicht wie konfokale Kegelschnitte mit Hilfe solcher komplexer
Funktionen darstellen.
Ein Hinweis zu dem Zusammenhang zwischen konfokalen bizirkularen Quartiken und Kreisbüscheln:
Kreisbüschel lassen sich durch eine Differentialgleichung des Typs charakterisieren.
Die "Brennpunkte" sind die (komplexen) Büschel-Grundpunkte. Fallen sie zusammen, ist das Büschel parabolisch.
Eine elliptische Differentialgleichung läßt sich auf mehrfache Weise aus 2 Kreisbüschel-Differentialgleichungen erzeugen!
Stichwort: winkelhalbierend! siehe das Kapitel Lineare Vekorfelder. 