La retta nel piano cartesiano
Il coefficiente angolare
Lavorando col grafico qui sopra possiamo concludere che, data una retta (non parallela all'asse delle ordinate) e presi due punti qualsiasi A(xA ; yA), e B(xB ; yB) di questa retta, il rapporto
m = (yB-yA)/(xB-xA)
è indipendente dalla scelta dei punti. Questo dipende dal fatto che tutti i triangoli rettangoli, costruiti a partire da due punti qualsiasi della retta tracciando delle parallele agli assi cartesiani, sono simili tra loro. Il valore di m, detto coefficiente angolare o pendenza della retta, è quindi una caratteristica specifica di ciascuna retta, e può essere determinato scegliendo due suoi punti qualsiasi.L'equazione della retta in forma esplicita
Per ricavare l'equazione della retta passante per Q(0;q) e A(xA,yA) si può ragionare in questo modo:
- il coefficiente angolare della retta è dato da m=Δy/Δx. Utilizzando le coordinate di Q e A può essere calcolato con la formula m=(yA-q)/(xA-0)
- Preso un punto P(x;y) qualsiasi appartenente alla retta, il coefficiente angolare ha sempre lo stesso valore m calcolato sopra; possiamo quindi scrivere m=(y-q)/(x-0).
- Moltiplicando entrambi i membri per x, sommando a entrambi i membri q e scambiando i membri otteniamo y = mx+q, detta equazione della retta in forma esplicita.
Possiamo quindi concludere che l'equazione di una retta (non parallela all'asse delle ordinate) in forma esplicita è un'equazione di primo grado del tipo y = mx+q dove:
- il coefficiente m del termine di primo grado corrisponde al coefficiente angolare della retta;
- il termine noto q è l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate, detto anche ordinata all'origine o quota.
Osserviamo infine che, per x=0, l'equazione y = mx+q dà q. In questo modo concludiamo, per altra via, che il punto (0;q) appartiene alla retta di equazione y=mx+q. Ciò significa che la retta interseca l'asse delle ordinate nel punto di ordinata q.