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内接四角形とその逆

命題とその逆

命題「円に内接する四角形は、その向かい合う角の和が180°である」 その逆「向かい合う角の和が180°である四角形は、円に内接する」 両方とも成り立つ場合、 「円に内接する四角形」と「向かい合う角の和が180°の四角形」は同値であるという。 条件で作図をして結果が成り立てば、証明されたことになる。 でも、右図の交点が円周上にあることは、見ただけではわからないので、さらに確かめる必要がある。 どうすればいいだろうか?

証明

この証明は背理法を使ってやるので、けっこうややこしい。 でも、図を見たら正しいと思う。 その思うことを論理によってはっきりさせるのが証明なのだ。 そして、ここで大事なことは同値であるということ。 この二つの条件はどちらからでも言えるので、同じ現象を違う条件でいいかえることができる。 このことは作図においてとても大事で、作図の順番が条件を示している。 そして、こういうことの積み重ねが図形のいろいろな性質を生み出し、豊かな世界を作り出している。