三角形の極線が一直線上に並ぶことの証明
Aの極線がｆ。Bは接線上の点。Bの極線がｉ。Ｄも接線上の点。Ｄの極線がｋ。３極線と辺との交点ＥＦＧは一直線上に並ぶ。
証明
Ｆの極線はｎ。
∵ＦはＤの極線ｋ上の点だから、Ｆの極線はＣを通り、Ｆの接線(点)を通る線。
Ｅの極線はｍ。
∵ＥはＡの極線ｆ上の点だから、Ｅの極線はＡを通り、Ｅの接線(点)を通る線。
Ｇの極線はｐ。
∵ＧはＢの極線ｉ上の点だから、Ｇの極線はＢを通り、Ｇの接点を通る線。
ジェルゴンヌの定理により、頂点と接点を結ぶ線は一点で交わるので、ｎｍｐは一点で交わる。
双対性により、その極は一直線上にある。
ｎｍｐの交点を極Ｐとし、一直線を△ＡＢＤの極Ｐの極線という。
この三角形のＰは定点だが、この円を楕円とすればＰは自由に動かすことができ、
楕円の極線と一致する。