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三角形の極線が一直線上に並ぶことの証明

Aの極線がf。Bは接線上の点。Bの極線がi。Dも接線上の点。Dの極線がk。3極線と辺との交点EFGは一直線上に並ぶ。

証明

Fの極線はn。 ∵FはDの極線k上の点だから、Fの極線はCを通り、Fの接線(点)を通る線。 Eの極線はm。 ∵EはAの極線f上の点だから、Eの極線はAを通り、Eの接線(点)を通る線。 Gの極線はp。 ∵GはBの極線i上の点だから、Gの極線はBを通り、Gの接点を通る線。 ジェルゴンヌの定理により、頂点と接点を結ぶ線は一点で交わるので、nmpは一点で交わる。 双対性により、その極は一直線上にある。 nmpの交点を極Pとし、一直線を△ABDの極Pの極線という。 この三角形のPは定点だが、この円を楕円とすればPは自由に動かすことができ、 楕円の極線と一致する。