Google ClassroomGoogle Classroom
GeoGebraClasse GeoGebra
GeoGebra

Kúpszeletek megfeleltetése körrel centrális kollineáció segítségével

Auteur :István Makai
Az ábrákon a sárga pontok mozgathatók. Kapcsolódó ábrák: Ellipszist igen könnyen körré transzformálhatunk tengelyes affinitás segítségével, ugyanakkor ez a transzformáció nem alkalmas hiperbola és parabola körré transzformálására (tengelyes affinitás esetén ugyanis az ideális elemek képe ideális elem marad). Centrális kollineáció segítségével viszont bármilyen két kúpszelet között kapcsolatot kereshetünk. Az alábbi ábrán egy kör perspektív képe látható (az r ellentengely a horizontvonal, a q' ellentengely az eltűnési / semleges vonal megfelelője). A centrális kollineáció ellentengelyeinek ismeretében biztosíthatjuk a perspektív kép ideális (végtelen távoli) pointjainak számát:
  • ha a kör nem metszi a q' ellentengelyt, akkor az összes pont képe a végesben marad, a perspektív kép ellipszis,
  • egy metszéspont (azaz érintési pont) esetén parabola,
  • két metszéspont esetén hiperbola.
A fentiek alapján bármely kúpszelet könnyen ellipszissé transzformálható az ellentengelyek megfelelő felvételével. Az általunk használt három szerkesztéshez viszont körrel való kapcsolatot keresünk, ami nehezebb dió, több megfontolást igényel.

1. Körré transzformálás külső ponton átmenő érintők segítségével

Ismerve egy kúpszelet két érintőjét, egy azokat érintő kör segítségével centrális kollineációt határozhatunk meg:
  • a centrális kollineáció centruma (C=C') az érintők metszéspontja,
  • az azonos érintőn fekvő érintési pontok egymásnak megfeleltethetők (E és E', B és B'),
  • az illeszkedéstartás követelményét figyelembevéve további pontpárokat kereshetünk,
  • végül ezek segítségével a transzformáció tengelyét (t=t') is meghatározhatjuk.
Az ellentengelyeket nem ábrázoltuk, de a korábbiakban bemutatott módon szerkeszthetők. Az alábbi ábrán ellipszist feleltetünk meg körrel két csúcsérintője segítségével. A K' középpontú kör tetszőleges sugárral felvehető (fontos észrevétel: az ellipszis középpontjának nem a kör középpontja felel meg!). Centrális rendezők segítségével megkereshetjük A és D pontok megfelelőit is (5. lépés). Mindkét pont esetében két lehetőség közül választhatunk, de ez nem jelent négy variációt, ügyelnünk kell ugyanis az illeszkedéstartás követelményére, amelyet például az O pont képének (O') megszerkesztésével ellenőrizhetünk (6-7. lépés): az A'B' és D'E' szakaszok (a kör rendszerében már nem átmérők, hanem húrok) metszéspontja O' kell legyen. A másik lehetőség gyakorlati szempontból kevésbé használható: az AD ellipszisív képe egy nagyon rövid körív, amely kézi szerkesztésre aligha használható, habár igaz, hogy a tengely a lenti ábrafelvételhez képest közelebb esik. Két egymásnak megfelelő egyenes helyben maradó pontjainak segítségével (8-9. lépés) megszerkeszthetjük a transzformáció t=t' tengelyét is. A kört az ellipszishez képest nem muszáj a centrum ellentétes oldalán megszerkeszteni, ha nem ítéljük a két görbét metsző helyzetben eredményező ábrafelvételt zavarónak. Ebben az esetben élhetünk az E=E' vagy B=B' helyben maradó pontokkal is, ami a tengely szerkesztését egyszerűsíti.
Megjegyzések:
  • A három nevezetes kúpszeletekkel kapcsolatos szerkesztés közül kettő elvégzése egyértelmű: egyenessel való metszés esetén az egyenes, külső pontból húzott érintők esetén a külső pont képét kell megkeresni, majd a megfelelő szerkesztést a körön elvégezni.
  • Az adott iránnyal párhuzamos érintők szerkesztése átgondolást igényel: egymással párhuzamos egyenesek metszéspontja egy közös ideális (végtelen távoli) pont, azaz minden irányhoz hozzárendelhetünk egy végtelen távoli pontot. Ennek a végtelen távoli pontnak a képe ugyanakkor a transzformáció elvégzését követően a végesbe kerül, azaz a feladat külső pontból húzott érintők szerkesztésévé alakul a kör rendszerében.
  • Ugyanez fordítva is előfordulhat, ha külső pontból húzott érintők szerkesztése esetén a külső pontot éppen a megfelelő ellentengelyen vesszük fel.

2. A szimmetria segítségül hívása

Parabola és hiperbola esetén könnyebb a fenti megfeleltetést elvégezni szimmetrikus pontpárokhoz tartozó érintők segítségével (hiperbola esetén a valós tengely vonatkozásában). A lenti szerkesztésen parabola és kör megfeleltetése látható a fentiekhez hasonló módon, de a szimmetria folytán elegendő két pontpár (P és P', V1 csúcspont és annak V1' képe) a t=t' tengely megszerkesztéséhez (5-6. lépés). Ebben az esetben is két transzformáció közül választhatunk (V1 centrális rendezője két pontban metszi a kört), a másik esetben a transzformáció tengelye nagy eséllyel a rajzlapon kívülre (vagy legalábbis igen messze) esik. V2' a parabola végtelen távoli (ideális) pontjának végesbe eső képe, a centrális kollineáció q' ellentengelye ezen a ponton keresztül fel is vehető. Hiperbola esetén az ellentengelyek nem speciális helyzetűek. Az aszimptoták megfelelői a körhöz húzott érintőkként szerkeszthetők helyben maradó pontjuk segítségével (a hiperbola összes pontja a végesbe kerül a transzformáció során). Tovább egyszerűsíthető a szerkesztés, ha P és Q pontokat helyben maradó pontoknak tekintjük, és az ezen pontkba állítható normálisok metszik ki a kör középpontját, hiszen ebben az esetben a PQ (azaz P'Q') egyenes lesz a transzformáció tengelye. A lenti ábrán a kör középpontját mozgatva megkereshetjük ezt az ábrafelvételt is. Megjegyzés: a 8. lépésben a perspektívával kapcsolatos ismereteinket felidézve fontos összefüggést vehetünk észre.
  • A PV1 egyenes ideális (végtelen távoli) pontjának végesbe eső képe a q' ellentengelyen található.
  • Ebből fakadónak a C=C' centrumot a q' ellentengely és a P'V1' egyenes metszéspontjával összekövetve egy PV1 egyenessel párhuzamost kapunk (vö. vízszintes egyenesek iránypontjának szerkesztése).
Hiperbola esetén érdemes az aszimptotákat, és a rajtuk fekvő, végtelen távoli pontokat (U1∞ és U2∞) felhasználni, centrumnak pedig a hiperbola középpontját választani (1-2. lépés). Tetszőleges érintőkört szerkesztve megkapjuk a hiperbola végtelen távoli pontjainak végesben fekvő képeit (U1' és U2'), amelyeken a centrális kollineáció q' ellentengelye is áthalad (3-4. lépés). A hiperbola A és B csúcspontjainak képét ezúttal is kétféleképpen választhatjuk ki (5. lépés). A tengely megszerkesztéséhez elég egy egyenes és annak képének megkeresése: a B csúcsponton átmenő, az egyik aszimptotával párhuzamos (azaz U1∞ ponton átmenő) egyenes képe a B'U1' egyenes. A helyben maradó ponton keresztül meghúzhatjuk a t=t' tengelyt is (6-8. lépés). Kör és hipberbola legfeljebb négy pontban metszik egymást, amelyek a megfeleltetés során nem feltétlen lesznek helyben maradó pontok, a lenti ábrán látható két metszéspont viszont az.

3. Térbeli magyarázat

A fenti összefüggéseket térbeli módon is lehet szemléltetni, a lentebb látható ábra a parabola példáján alapul. A (kép)parabola fókuszpontját F-fel jelöltük, a vezéregyenest nem ábrázoltuk. Képzeljük el a következőket:
  • A fenti ábrák ferde körkúpok felülnézetei, amely kúpok vezérkörei az általunk felvett körök.
  • A körkúp első kontúralkotói a kúpszelet és a kör közös érintői.
  • Ehhez könnyedén hozzárendelhetünk egy második képet, amelyet a szimmetriasíkkal párhuzamosan érdemes felvenni, M csúcspont magassága tetszőleges.
Az ábrán kizárólag a kúp első képsík feletti részét ábrázoltuk. A centrális kollineáció a parabolametszet és a vezérkör első képe között áll fenn,
  • centruma a csúcspont M' első képe,
  • P' megfelelője a kontúralkotó PT talppontja,
  • a V1' megfelelthető a V1AT és a V1BT pontoknak is, attól függően, hogy az első képen fedésben lévő kúpalkotók közül melyiket választjuk (ettől függ az is, hogy V1 második képe V1A" vagy V1B"),
  • a pontpárok segítségével, a fentieknek megfelelő módon két tengelyt is kaphatunk, ezek a két lehetséges metszősík első nyomvonalai (n1A és n1B).
A két síkmetszet az első képen fedésben van, a két metszősík metszésvonala a PQ egyenes, amely a kúp első kontúrsíkjában (nk1 és nk2 nyomvonalak) fekszik. Amennyiben P' pontot az egyszerűség végett helyben maradó pontként határozzuk meg (a QT pont mozgatásával könnyeddén előállíthatjuk ezt a speciális helyzetet a lenti ábrán), azaz P'=PT, úgy mind a két megfeleltés tengelye egybeesik. Az ellentengelyeket nem ábrázoltuk, de mind a kettő lentebb bemutatott esetben ugyanúgy szerkeszthetők: a q' ellentengelyt a csúcsponton átmenő, a megfelelő metszősíkkal párhuzamos sík metszi ki az első képsíkból (azaz annak első nyomvonala). Parabolametszet esetén a kúpfelület egyik érintősíkjáról van szó (azaz q' érinti a kört), ellipszis esetén csak a kúp csúcspontjában metszi a felület (azaz q' nem metszi a kört), hiperbola esetén pedig két alkotóban (azaz q' két pontban metszi a kört). Az r ellentengelyt a csúcsponton átmenő, a kör síkjával párhuzamos sík metszi ki a megfelelő metszősíkból (analógia: ld. a centrális kollineáció ellentengelyeinek szerkesztése, egyenes és képe, illetve az irányegyenesek / centrális rendezők parallelogrammát alkotnak).
Az előző ábrához hasonló ábrafelvétel (azaz klasszikus kettős vetület) nem mindig állítható elő, de a térbeli összefüggések ezekben az esetekben is fennállnak. A lenti ábra a második ábrán látható elrendezés lehetséges térbeli szemléltetését mutatja. Az ábra mind a két lehetséges centrális kollineáció tengelyét mutatja, a 7-8. lépésben pedig megjelennek az ezekhez tartozó síkok is. Jól látható, amennyiben az ábrát a bal egérgomb segítségével elforgatjuk, hogy a felülnézetben látható ellipszishez két fedésben lévő síkmetszet is tartozik. A ferde körkúp alkotóinak képei a centrális rendezőknek felelnek meg.

4. A fókuszpont mint centrum

A fenti transzformációkhoz képest további egyszerűsítéseket végezhetünk, ezáltal pontosabb, elegánsabb szerkesztésekhez jutunk, ha a centrumnak az egyik fókuszpontot választjuk. A három nevezetes szerkesztés parabola és hiperbola esetén az alábbi linkekre kattintva érhetők el: A megfeleltés ezekben az esetekben is térbeli megfontoláson alapul. Egyenes körkúp tengelyirányú merőleges vetülete esetén ellipszis-, parabola- vagy hiperbolametszete vetületének (egyik) fókuszpontja a kúp csúcspontjának a képe (ld. például Lőrincz-Petrich p. 160).

Nouvelles ressources

Découvrir des ressources

Découvrir des Thèmes