Googleクラスルーム
GeoGebraGeoGebra Classroom

三角形の極線上の点の極線が接線であることの証明

これで接線になることを証明できないだろうか? 「三角形の極線上の点を極とする極線は、元の内接円錐曲線に接する」このことを証明するために極線上の点を極とする内接楕円を作図して考察する。

「Ⅾの極線上の点Tの極線がDの内接楕円の接線になる」ことの証明。見やすくするために、楕円にしてそれぞれの極と極線で考察する。

証明まで数か月かかった

この定理を見つけてから数年。いろいろわかってきて、証明できそうと思ってから数か月。 三角形で考えると複雑そうなので、内接する円錐曲線で考える。 この時、Dの内接円錐曲線とTの内接円錐曲線ができる。 さらに解り易くするために、二つの円錐曲線を楕円にする。 この場合、Tの楕円の極線かDの楕円の極線かで異なる。 その二つの極線の間の関係を調べる。 作図がポイント (1) DのD極線(D[D]と表す)上の点TのT極線(T[T])を作図。 (2) Kは接線の交点でT[T]上にある。したがってKのT極線はD[D]。 (3) D[D]とT[T]の交点をZとすると、Z[D]とZ[T]がわかる。 (4) 一方D[T]とT[T]の交点をRとすると、R[D]はKを通る。 K[D]が接線であるならK自身を含むことを示す。 Z[D]で考えると,K[D]はZを通る。 R[D]で考えるとK[D]はRを通る。 よってK[D]はZRを通るので、K[D]はKを含む。 したがってK[D]はDの楕円の接線となる。 この証明は不完全!