Olimpiada Matemática de Baleares 2013 - Problema 5
Sean O1, O2 dos puntos cualesquiera del plano. Sean c1 la circunferencia de centro O1 que pasa por O2 y c2 la de centro O2 que pasa por O1. Sea c la circunferencia que tiene como diámetro al segmento O1O2.
Supongamos ahora que r es el radio de la circunferencia que es tangente interiormente a c1, exteriormente a c2 y tangente también al diámetro de c1 que es perpendicular al segmento O1O2, y que r' es el radio de la circunferencia tangente interiormente a c1 y c2 y exteriormente a c. Demostrar que r = r'
Basta considerar la inversión en la circunferencia c1. Esta inversión transforma la recta d perpendicular por O1 al segmento s = O1O2 y a la circunferencia c1 en si mismas, a la circunferencia c2 en la recta c'2, paralela a d por O, punto medio de s, y a la circunferencia c en la recta c', paralela por O2 a d. Las rectas d, c'2 y c' son paralelas y están igualmente distanciadas.
Las inversas de las dos circunferencias rojas son las circunferencias tangentes a a c1, c'2 y a d y c' respectivamente, por lo que tienen el mismo radio, y sus inversas, las circunferencias rojas, también, puesto que las primeras son tangentes a la circunferencia de inversión y del mismo radio, la mitad del de c. El de las circunferencias rojas es la tercera parte del de c, 1/6 de s.