Mittellinien zweier Kreise

Grau ist alle Theorie (?)

Zwei verschiedene Kreise K₁, K₂ können im Wesentlichen drei verschiedene Lagen besitzen. Dabei zählen wir die Geraden zu den Kreisen: projiziert man Kreise oder Geraden stereographisch auf die Kugel, so unterscheiden sich Kreise und Geraden nur darin, dass die Bilder die Geraden durch den Nordpol

der Kugel gehen. Ein Kreis ist durch drei Punkte eindeutig festgelegt. Liegen die 3 Punkte in einer Linie, so ist der Kreis eine Gerade.

Die Kreise schneiden sich in 2 Punkten: elliptischer Fall
Die Kreise berühren sich in einem Punkt: parabolischer Fall
Die Kreise schneiden sich nicht: hyperbolischer Fall.

Der letzte Fall unterscheidet sich euklidisch darin, dass die Kreise ineinander oder getrennt liegen können. Zwei Kreise legen ein Kreisbüschel und ein dazu orthogonales Kreisbüschel fest:

elliptisch: alle Kreise durch die Schnittpunkte der beiden Kreise; die orthogonalen Kreise dazu bilden ein hyperbolisches Kreisbüschel.
hyperbolisch: die orthogonalen Kreise sind ein elliptisches Kreisbüschel, die beiden vorgegebenen Kreise sind Kreise des orthogonalen elliptischen Kreisbüschels.
parabolisch: die Kreise, die die vorgegebenen Kreise im Berührpunkt berühren; die orthogonalen Kreise durch den Berührpunkt sind das orthogonale parabolische Kreisbüschel.

Was ist eine Mittellinie zweier Kreise? Euklidisch, also in der ebenen Geometrie, in der Kreise und Geraden unterschieden werden, und in der Abstände gemessen werden können, und in der das Parallelenaxiom gilt, ist eine Mittellinie zweier Kreise der Ort der Punkte, die von den zwei Kreisen denselben Abstand besitzen. Ein Punkt dieser Mittellinie ist Mittelpunkt eines Kreise, der die beiden vorgegebenen Kreise berührt. Im obigen Applet werden diese Berührkreise angezeigt. Möbiusgeometrisch, also in der ebenen Geometrie, in der nur Kreise und Winkel zählen, ist eine Mittellinie ein Kreis, der symmetrisch zwischen den beiden Kreisen liegt; kurz: ein Kreis, für welchen die Spiegelung an diesem Kreis die beiden vorgegebenen Kreise vertauscht! Diese Mittelkreise gehören also zu den Symmetriekreisen der beiden vorgegebenen Kreise. Liegen die beiden Kreise hyperbolisch oder parabolisch, so gibt es genau einen solchen Mittelkreis. Im elliptischen Fall gibt es zwei, zueinander orthogonale Symmetriekreise. Es sind die Winkelhalbierenden-Kreise der beiden Kreise. Im Applet sind die beiden Kreise bewegbar durch die Kreis-Punkte A, B, C bzw. D, E, F. Je nach Lage der Kreise sind die Mittellinien Ellipsen oder Hyperbeln. Beim Wechseln der Lage können Kegelschnitte zu Doppellinien werden. Mit komplexen logischen Abfragen haben wir versucht, die hierbei auftretenden Ungereimtheiten aufzufangen. Das ist möglicherweise nicht immer gelungen! Die Mittelkreise werden als Symmetriekreise angezeigt.

Dieses Material ist eine Seite des GeoGebrabooks Zwei Kreise 20.05.2018 neu 18.06.2018

Mittellinien zweier Kreise

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