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Krümmungskreis - Herleitung

Autor:
Andreas Lindner
Ein Krümmungskreis an den Graph einer Funktion f ist jener Kreis, der im Punkt P(x0|y0) dieselbe Krümmung wie die Funktion hat. Folgende Bedingungen muss der Krümmungskreis erfüllen:
  1. Der Krümmungskreis mit dem Mittelpunkt M(m|n) gehr durch den Punkt P(x0|y0) (d. h. die Funktion und der Krümmungskreis gehen durch den Punkt P(x0|y0) ).
  2. Der Mittelpunkt M(m | n) liegt auf der Normalen nP zur Tangente tP im Punkt P(x0|y0) (d. h. die Funktion und der Krümmungskreis haben an der Stelle x0 dieselbe Steigung bzw. dieselbe erste Ableitung).
  3. Der Krümmungskreis und die Funktion f haben an im Punkt P(x0|y0) dieselbe zweite Ableitung.
Das führt auf die Bedingungen
  3. (Hinweis siehe unten),
die im Punkt P(x0 | y0) erfüllt sein müssen.
  3. .
Dieses Gleichungssystem kann mit dem CAS gelöst werden. In Zeile 4 (nach rechts scrollen) sieht man als Lösung für den Radius des Krümmungskreises

.

Aufgabe Verschiebe den Mittelpunkt M des blauen Kreises auf der Normalen nP, bis der Krümmungskreis angezeigt wird. Beachte, dass der Krümmungskreis auch noch weitere Schnittpunkte mit dem Graphen haben kann.

Hinweis zur Berechnung der 2. Ableitung für die 3. Gleichung:

Die Kreisgleichung lautet . Implizites Differenzieren ergibt

und somit .

Ein nochmaliges implizites Differenzieren führt auf

und nach einigen Umformungen auf

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