Racines primitives
L'ensemble des entiers modulo n peut-être vu aussi sous la forme des racines n-ème de l'unité du cercle trigonométrique . Sous forme exponentielle, on les note car est -périodique: pour tout entier k, .
On a vu qu'un entier était générateur des autres quand il était premier avec n. Cet ensemble est dénombré par , l'indicatrice d'Euler et on note les racines primitives associées . Ce sont tous les éléments non nuls quand n est premier, mais quand n n'est pas premier, qu'il possède donc des diviseurs , alors les racines n-èmes de l'unité se décomposent en les racines d-èmes primitives pour tous les diviseurs: .
Remarquez que chaque élément possède un ordre additif propre, c'est-à-dire le plus petit entier tel que . Cet ordre divise l'ordre n du groupe additif et comme , , où est un entier représentant de la classe . Cet élément génère donc un sous-groupe .
Pour n premier, les éléments non nuls forment un groupe multiplicatif qui compte éléments. Aussi, chaque élément non nul a un ordre multiplicatif qui divise n-1, l'ordre du groupe, c'est le petit théorème de Fermat: qu'on peut reformuler sur les entiers, même multiples de n: .
Quand n est composé, c'est plus complexe, comme on l'a vu, chaque élément, en tant que racine n-ème de l'unité, a un ordre d donné, et est une racine primitive d-ème , qui lui-même peut-être composé.