Odległość punktu od zbioru w metryce miasto
- Autor:
- Mateusz Maciejewski
Poruszaj punktem p i oglądaj, jak zmienia się położenie najbliższego punktu w kole A oraz odległość dist(p,A)=0 punktu p od zbioru A.
Zauważ, że jeśli p jest punktem zbioru A, to dist(p,A)=0.
W przypadku metryki miasto znacznie trudniej niż w przypadku metryki euklidesowej znaleźć odległość punktu od zbioru oraz najbliższy punkt w zbiorze A.
Dlatego warto wykorzystać następującą charakteryzację odległości: dist(p,A) to promień największej kuli otwartej o środku w punkcie p, która jest rozłączna ze zbiorem A.
Metodę tę, którą nazwałem metodą dmuchania balonu, najlepiej zrozumieć, używając suwaka: ,,dmuchamy" kulę ośrodku w punkcie p tak długo, aż kula ,,dotknie" zbiór A. Wtedy odległość dist(p,A) to promień tak znalezionej kuli, a punkty ze zbioru A leżące w kuli domkniętej (o tym samym promieniu) to punkty ze zbioru A leżące najbliżej punktu p.
Uwaga! Choć wartość dist(p,A) jest zawsze dobrze określona, jeśli , nie zawsze istnieją punkty ze zbioru A leżące najbliżej punktu p. Dla przykładu można rozważyć otwarte zbiory A.