Darstellungen von Funktionen in der Mathematik
In der Mathematik werden verschiedene Methoden benutzt eine Funktion darzustellen, d.h. anzugeben, welches Element der Zielmenge die Funktion den verschiedenen Elementen der Startmenge zuordnet.
Pfeildiagramm
Das Pfeildiagramm wird selten benutzt, da es viel Platz benötigt und wenig übersichtlich ist.
f
Wertetabelle
Viel eher stellt man die Funktion in einer Wertetabelle dar.
In die obere Zeile schreibt man die x-Werte und in die untere Zeile direkt unten drunter dazu gehörigen Funktionswert.
Die im Pfeildiagramm definierte Funktion f notiert man in einer Wertetabelle daher auf folgende Weise:
Funktionsgraph
Am häufigsten stellt man eine Funktion durch einen (Funktions)Graphen dar.
Wir zeigen, wie man die als Wertetabelle gegebene Funktion f
durch einen Graphen darstellt.
Zuerst zeichnen wir ein kartesisches Koordinatensystem:
Es ist üblich, dass die x-Werte, also die Elemente der Startmenge auf der x-Achse (der horizontalen Achse) aufgetragen werden. Daher zeichnen wir auf der x-Achse eine Skala für die Elemente der Startmenge ein:
Dann zeichnen wir auf der y-Achse eine Skala für die Elemente der Zielmenge ein.
Da die Werte hier von 0 bis 600 reichen, müssen wir grössere Skalenabstände wählen.
Nun können wir die Zuordnung durch einen Graphen darstellen:
In der Tabelle lesen wir ab, dass f(-3) = 0 ist.
Der Funktionswert von -3 ist also 0. Das stellen wir im Koordinatensystem folgendermassen dar:
Wir gehen auf der x-Achse (sie zeigt die Elemente der Startmenge ) zu x = -3.
Nun setzen wir bei x = -3 einen Punkt, dessen y-Koordinate gleich dem dazugehörigen Funktionswert ist.
Es ist f(-3) = 0 Also setzen wir bei x = -3 einen Punkt auf der Höhe von y = 0, und d.h. auf Höhe der x-Achse:
Fertig!
Als nächstes lesen wir in der Wertetabelle ab, dass f(0) = 300 ist.
Das stellen wir im Schaubild dar, indem wir bei x = 0 einen Punkt mit der y-Koordinate 300 setzen:
durch einen Graphen darstellt.
Zuerst zeichnen wir ein kartesisches Koordinatensystem:
Es ist üblich, dass die x-Werte, also die Elemente der Startmenge auf der x-Achse (der horizontalen Achse) aufgetragen werden. Daher zeichnen wir auf der x-Achse eine Skala für die Elemente der Startmenge ein:
Dann zeichnen wir auf der y-Achse eine Skala für die Elemente der Zielmenge ein.
Da die Werte hier von 0 bis 600 reichen, müssen wir grössere Skalenabstände wählen.
Nun können wir die Zuordnung durch einen Graphen darstellen:
In der Tabelle lesen wir ab, dass f(-3) = 0 ist.
Der Funktionswert von -3 ist also 0. Das stellen wir im Koordinatensystem folgendermassen dar:
Wir gehen auf der x-Achse (sie zeigt die Elemente der Startmenge ) zu x = -3.
Nun setzen wir bei x = -3 einen Punkt, dessen y-Koordinate gleich dem dazugehörigen Funktionswert ist.
Es ist f(-3) = 0 Also setzen wir bei x = -3 einen Punkt auf der Höhe von y = 0, und d.h. auf Höhe der x-Achse:
Fertig!
Als nächstes lesen wir in der Wertetabelle ab, dass f(0) = 300 ist.
Das stellen wir im Schaubild dar, indem wir bei x = 0 einen Punkt mit der y-Koordinate 300 setzen:
Bei den letzten beiden Einträgen der Tabelle, f(2) = 300 und f(5) = 600 verfahren wir genauso.
Hier die Wertetabelle
und der fertige Funktionsgraph:
Umfasst die Startmenge nicht nur einzelne Zahlen, sondern einen ganzen Zahlenbereich, dann besteht der Graph aus so vielen Punkte, dass er wie in diesem Schaubild eine Linie ist:
und der fertige Funktionsgraph:
Umfasst die Startmenge nicht nur einzelne Zahlen, sondern einen ganzen Zahlenbereich, dann besteht der Graph aus so vielen Punkte, dass er wie in diesem Schaubild eine Linie ist:
Funktionswerte am Graphen ablesen
An diesem Beispiel zeigen wir, wie man an einem Graphen Funktionswerte abliest.
Wir wollen wissen, welche Zahl die oben als Graph dargestellte Funktion f der Zahl -3 zuordnet
Mit anderen Worten: wir wollen den Funktionswert der Funktion f von x = -3 ablesen.
Wieder anders ausgedrückt: wir wollen f(-3) ablesen.
Dazu gehen wir auf der x-Achse zur Stelle x = -3 .
(x-Achse weil die x-Werte, also die Elemente der Startmenge, auf der x-Achse aufgetragen sind.)
Bei x = -3 gehen wir nun bis zum Graphen und dann rüber zur y-Achse. Dort lesen wir ab, auf welcher Höhe der Graph verläuft:
Wir lesen ab: es ist y = -1
Der Funktionswert (der Funktion f) von x = -3 ist damit -1.
In der üblichen Kurzschrift notiert: f(-3) = -1.
Bei x = -3 gehen wir nun bis zum Graphen und dann rüber zur y-Achse. Dort lesen wir ab, auf welcher Höhe der Graph verläuft:
Wir lesen ab: es ist y = -1
Der Funktionswert (der Funktion f) von x = -3 ist damit -1.
In der üblichen Kurzschrift notiert: f(-3) = -1.