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L'ortocentro

Teorema Le tre altezze di un triangolo, o i loro prolungamenti, si incontrano in un punto (detto ortocentro) Ipotesi: triangolo ABC Tesi: le altezze si incontrano in un punto Vediamo i passaggi principali della costruzione con Geogebra lasciando i dettagli della dimostrazione per esercizio
  1. Costruiamo il triangolo
  2. Tracciamo le altezze: retta per ogni vertice e perpendicolare al lato opposto Toolbar Image
  3. Individuiamo il piede di ciascuna altezza (Toolbar Image e nascondiamo le rette); individuiamo le altezze Toolbar Image e cambiamo lo stile [tasto destro, proprietà, colore, stile]
  4. Individuiamo il punto di incontro tra due delle tre altezze e verifichiamo che anche la terza altezza passa per tale punto Toolbar Image
Attezzione: questa è solo la verifica della validità dell'enunciato

Per completare la dimostrazione

5. Tracciamo una retta passante per A e parallela al lato opposto Toolbar Image(il comando lo troviamo nella stessa icona delle rette perpendicolari) 6. Ripetiamo anche per gli altri due vertici 7. Individuiamo i punti di intersezione tra queste tre nuove rette. Otteniamo un nuovo triangolo. 8. Osserviamo che le rette che contengono le altezze (quelle tratteggiate) sono gli assi del nuovo triangolo. 9. Possiamo concludere che poiché gli assi si incontrano in un punto, anche le tre altezze si incontreranno (nello stesso punto) CVD Attenzione: ATTENZIONE: il punto centrale della dimostrazione è il passaggio n. 8:per poter affermare che sono assi è necessario dimostrare che: - sono perpendicolari al lato - passano per il punto medio del lato. La prima affermazione è verificata per costruzione. Per la seconda affermazione è necessario osservare che: consideriamo ad esempio il quadrilatero GCBA: - GC e BA sono paralleli per costruzione - CB e GA sono paralleli per costruzione dunque GCBA è un parallelogramma. Per la proprietà del parallelogramma ha i lati opposti congruenti, in particolare GC=BA Consideriamo adesso il parallelogramma CHBA. Analogamente a sopra CH=BA. Dunque C è punto medio di GH. Ripetiamo ora per gli altri lati.