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Curvas afínmente equivalentes

Autor:Rafael Losada Liste
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia. En la anterior actividad hemos visto cómo a partir de una curva plana F(x, y)=0, después de someterla a un cambio de sistema de referencia, es decir, a una transformación afín invertible, podemos obtener la ecuación de otra curva plana G(x, y)=0. Por ejemplo, cualquier elipse puede ser obtenida a partir de cualquier otra elipse; para ello basta ajustar la escala de los semiejes y girarlos adecuadamente. Todas las curvas planas que puedan obtenerse de cualquiera de ellas mediante alguna transformación afín están, de este modo, relacionadas. Esta relación es una relación de equivalencia, es decir, se cumplen las propiedades:
  • Reflexiva: toda curva se puede transformar en sí misma (mediante la matriz identidad).
  • Simétrica: si F se puede transformar en G, entonces G se puede transformar en F (mediante la matriz inversa).
  • Transitiva: Si F se puede transformar en G y G se puede transformar en H, entonces F se puede transformar en H (mediante el producto de matrices).
Por lo tanto, las curvas planas que se pueden transformar unas en otra forman una clase de equivalencia y decimos que son afínmente equivalentes. Nota: Una clase de equivalencia es un modo de agrupar una colección de objetos conectados por una relación, llamada relación de equivalencia. Por ejemplo, todas las fracciones {2/5, 4/10, 6/15,...} tienen el mismo valor 0.4, por lo que decimos que son equivalentes. De todas ellas, la primera (fracción irreducible) es más sencilla que el resto, pues en su expresión intervienen los números más pequeños. Como todas ellas son equivalentes (en cuanto a su valor), podemos tomarla como representante de toda la clase. Entonces, tiene sentido hablar de una curva de expresión lo más simple posible de entre todas las curvas afinmente equivalentes, que represente a toda la clase. A esta curva le llamaremos curva canónica. Por ejemplo, es evidente que todas las rectas a1 x + a2 y + a0 = 0 proceden de un cambio de sistema de referencia de la recta canónica y = 0, pues a partir de esta última, mediante giro y traslación, podemos obtener cualquier otra. Ahora bien, dada una curva cualquiera F(x, y)=0, ¿cómo es la familia de curvas que podemos obtener cambiando el sistema de referencia? Por ejemplo, ¿puede la curva cúbica x3 - x - y2= 0 transformarse en cualquier otra curva cúbica? En la siguiente construcción puedes comprobar que, por mucho que varíes el sistema de referencia {O, a, b}, no obtendrás la curva x3 - y2= 0 (en color verde) a partir de x3 - x - y2 = 0 (o viceversa). Es decir, estas dos curvas no son afinmente equivalentes, no pertenecen a la misma clase.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.

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