Un criterio di parallelismo

Teorema: angoli alterni interni e parallelismo

Se due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli alterni interni congruenti, allora le rette sono parallele. Ipotesi: Tesi: r s Dimostrazione per assurdo Supponiamo che le rette r ed s non siano parallele. Allora esiste un punto in cui r ed s si incontrano, che chiamiamo P. Si forma un triangolo APB di cui è un angolo esterno. Per il primo teorema dell'angolo esterno, (rosso) deve essere maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti e quindi, deve essere > (blu) . Ma per ipotesi, ASSURDO. Abbiamo trovato una contraddizione dovuta al fatto che abbiamo supposto che la tesi fosse falsa. Pertanto, r ed s devono essere parallele.
Image

Teorema inverso

Se due rette sono parallele, allora, tagliate da una trasversale, formano coppie di angoli alterni interni congruenti. Ipotesi: r s Tesi: Dimostrazione per assurdo Supponiamo che i due angoli e non siano congruenti. Allora, possiamo tracciare la retta t' passante per A che forma con t un angolo ' . Ma allora si avrebbe:
  • t' r per il criterio di parallelismo perchè t' ed r, tagliate dalla trasversale t, formerebbero una coppia di angoli alterni interni congruenti
  • s r per ipotesi.
Cioè avremmo due rette distinte, t' ed s, passanti per A e parallele ad r. Ma questo è assurdo perchè l'assioma della parallela afferma che la retta parallela ad una certa retta e passante per un punto è unica. Pertanto, la tesi non può essere falsa e quindi, gli angoli e sono congruenti.
Image
Questi due teoremi possono essere riassunti in uno solo: Due rette sono parallele se e solo se, tagliate da una trasversale, formano una coppia di angoli alterni interni congruenti.