Euler φ(fi) Fonksiyonunun Kanıtı
İsviçreli büyük matematikçi Leonhard Euler'e olan ait φ(phi) fonksiyonu, sayılar teorisinde önemli bir yere sahiptir. Bu yazıda; fonksiyonun tanımını yapıp, eşleme bağıntısının neye karşılık geldiğini açıklayıp, bağıntının için geçerli olduğunu kanıtlayacağız.
Teorem: bir doğal sayı olsun. sayıları birbirinden farklı ve n'yi bölen tüm asal sayılar olmak üzere;
Burada 'nin 'de tanımlı olduğunu söyleyebiliriz.
sayısı, n'den küçük ve n ile aralarında asal olan doğal sayıların adedine eşittir. Matematiksel biçimde ifade edilmesi gerekirse;
{ ve ve aralarında asal } kümesinin eleman sayısına eşittir.
Kanıt: doğal sayılar kümesinde tane eleman vardır. sayıları 'nin asal çarpanları olmak üzere; 'nin asal çarpanlarının tam katı olan sayıların oluşturduğu kümeleri sırasıyla:
.
.
.
şeklinde tanımlayalım.
Aradığımız sayı, farkına eşittir.
kümelerin eleman sayıları sırasıyla,
, , ... ,
dir. Bu kümelerin kesişimlerinin eleman sayıları ise,
,..., , ... ,
şeklindedir. Buradan tüm kümelerin birleşiminin eleman sayısı, içindelik dışındalık prensibinden;
biçminde hesaplanır.
Toplam ifadelerini listeleyelim:
.
.
.
Bu durumda:
ifadesi elde edilir. Aradığımız sayı,
olduğundan;
biçiminde yazılır. Eşitliği parantezine alarak derleyelim.
şimdi parantezlerin içinde bulunan kesirli ifadeleri toplayalım.
son olarak sayısını:
şeklinde yazalım. Bu adımdan sonra paydalar ortak olduğundan rahatça toplama yapabiliriz.
Bu kesirli ifadenin pay kısmını dikkate alıp,
çarpımına odaklanalım! Bu çarpımın sonucu:
tam da son adımda bulduğumuz kesirli ifadenin payına eşittir. Bu sayede:
yazabiliriz. Bunu da
şeklinde parçalara ayırabiliriz. Son olarak parantez içlerini teoremdeki şekliyle yazalım:
sonucuna ulaşılır. Böylece kanıt tamamlanmış olur.
Bu yazının konusu Ali Nesin'in "Sayma" isimli kitabında bulunan okuyucuya yöneltilen problemlerden alınmıştır. (Syf. 103, Problem 19)
Bilal DEMİR Matematik Öğretmeni