Schnitt von Zylinder und Kegel
Aufgabenstellung 1
Gegeben ist ein Kegel und ein Zylinder .
(a) Berechne die Gleichung der Schnittkurve von Kegel und Zylinder und gib diese in Parameterform an.
(b) Zeichne den Kegel, den Zylinder und die Schnittkurve.
Lösung
Kegel: (1)
Zylinder: (2)
d.h. die Achse des Zylinder geht durch M(0, 2, 0) und der Radius ist 2.
Aus (1) und (2) folgt
Die Parameterform der Schnittkurve lautet deshalb
Aufgabenstellung 2
Berechne den Flächeninhalt der Schnittfläche S zwischen dem Kegel und dem Zylinder .
Lösung
1. Möglichkeit
Der Oberflächeninhalt der Schnittfläche S kann mit berechnet werden, wobei der Normalenvektor auf die Fläche S an der Stelle ist.
Die Schnittfläche ist Teil des Kegels und kann als Funktion f mit über dem Kreis K angegeben werden.
Damit ergibt sich
Der Betrag von ist .
Hinweis: Beachte, dass das Integral zur Berechnung des Flächeninhalts an das Integral zur Berechnung der Bogenlänge eines Funktionsgraphen erinnert.
Das Integral wird somit zu
2. Möglichkeit
Die Schnittfläche kann auch durch
parametrisiert werden und ist im Applet dargestellt.
Für die partiellen Ableitungen gilt
und .
Leider ist das Integral für den Flächeninhalt
nur schwer zu berechnen und wird hier nicht ausgeführt.