Curvas planas
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia.
Supongamos que tenemos una curva plana de ecuación:
Para obtener su nueva ecuación después de aplicarle un cambio de sistema de referencia {O, a, b}, podemos seguir la estrategia de elegir un conjunto de puntos que determinen la curva F(x, y)=0, de modo análogo a como hemos hecho con los vértices de los polígonos. Después, calculamos las imágenes de esos puntos y reconstruimos la nueva curva plana a partir de esas imágenes.
Por ejemplo, si la curva plana es una cónica (o cuadrática en general), que queda determinada por cinco puntos, podemos reconstruir la nueva cónica como la única que pasa por las imágenes de la transformación afín de esos cinco puntos.
Sin embargo, existe un procedimiento alternativo: con GeoGebra podemos aplicar la transformación afín no solo a un punto, sino directamente a toda la curva plana.
Para ello, llamamos P'=(u, v) a un punto cualquiera de la nueva curva buscada. Sabemos que entonces P = T' P' tiene que ser un punto de la curva plana de partida, es decir, sabemos que:
ec: F(x, y)=0
Para obtener su nueva ecuación después de aplicarle un cambio de sistema de referencia {O, a, b}, podemos seguir la estrategia de elegir un conjunto de puntos que determinen la curva F(x, y)=0, de modo análogo a como hemos hecho con los vértices de los polígonos. Después, calculamos las imágenes de esos puntos y reconstruimos la nueva curva plana a partir de esas imágenes.
Por ejemplo, si la curva plana es una cónica (o cuadrática en general), que queda determinada por cinco puntos, podemos reconstruir la nueva cónica como la única que pasa por las imágenes de la transformación afín de esos cinco puntos.
Sin embargo, existe un procedimiento alternativo: con GeoGebra podemos aplicar la transformación afín no solo a un punto, sino directamente a toda la curva plana.
Para ello, llamamos P'=(u, v) a un punto cualquiera de la nueva curva buscada. Sabemos que entonces P = T' P' tiene que ser un punto de la curva plana de partida, es decir, sabemos que:F(x(P), y(P))=0
Como habíamos llamado p al vector columna correspondiente a las coordenadas homogéneas de P, para hallar x(P) en la Vista CAS multiplicamos (1, 0, 0) p. Análogamente, para hallar y(P) realizaremos el producto (0, 1, 0) p. Nota: no podemos usar directamente x(p) e y(p) porque en la Vista CAS x( ) e y( ) se interpretan literalmente. Así que para obtener F(x(P), y(P)), lo que debemos escribir en la Vista CAS es:F((1, 0, 0) p, (0, 1, 0) p)
Muchas veces obtenemos una expresión más cómoda de esta función en dos variables si escribimos:Simplifica(F((1, 0, 0) p, (0, 1, 0) p))
Finalmente, como vamos a igualar esta expresión a cero para obtener la ecuación correspondiente, no nos interesa ningún denominador que pueda aparecer, por lo que aplicamos el comando Numerador a la expresión anterior. Obtenemos así la función en dos variables G(u, v). Solo nos resta introducir la nueva ecuación en la Barra de Entrada y... voilà!ec': G(x, y)=0
Nota: seguramente obtendremos coeficientes con menos cifras en la nueva ecuación si el origen O y los vectores a y b del nuevo sistema de referencia tienen coordenadas enteras.Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.