Derivadas
Interpretação Geométrica da Derivada num Ponto
Seja uma função e .
Consideremos um ponto pertencente ao gráfico de .
Problema: Como traçar a reta tangente à curva de equação no ponto ?
Dado o ponto , tomemos com .
Traçamos a reta que passa pelos pontos e . Observemos que esta reta é secante ao gráfico de .
À medida que , quer por valores superiores a , , quer por valores inferiores a , , o ponto aproxima-se de . Se as sucessivas retas secantes se aproximarem de uma posição limite, obtemos a reta tangente ao gráfico de e o seu declive é .
Porém, pode acontecer que as secantes se aproximem de semi-retas, chamadas de semi-tangente à direita no ponto quando ou semi-tangente à esquerda no ponto quando . Assim, se ambas as semi-tangentes estiverem no prolongamento uma da outra, então dão origem à reta tangente ao gráfico de no ponto. Mas, se as semi-tangentes não coincidirem então não se pode traçar a reta tangente ao gráfico no ponto.
Resumo:
- i) Se é diferenciável em então a reta tangente é dada por com e ;
- ii) Se então a equação da reta tangente é , isto é, a reta é vertical;
- iii) Se não existe então não é possível traçar a reta tangente ao gráfico de .
Atividade Exploratória nº 1 - Relação entre Continuidade e Diferenciabilidade num ponto
Se é diferenciável em então é contínua em .
A condição recíproca nem sempre é válida.
Investigue tal situação considerando, por exemplo, as expressões:
i) ; ii) ; iii)
Fórmula da derivada da função inversa