Tangente durch Punkt A an Parabel f(x)
Tangenten h(x), k(x) durch Punkt A an Parabel f(x)
falsche Lösung g(x) zur Illustration
Lösung sowohl geometrisch (Punkt A, Geraden a,b) als auch algebraisch (h(x),k(x)) ermittelt.
Lösungsweg:
- Geradengleichung in Punktsteigungsform aufstellen: a(x)=m*(x+1)+2
- Tangente geht auch durch Punkt Q(u|f(u)) auf f: b(x)=m*(x-u)+2u²+3
- Tangentensteigung an u = Funktionssteigung an u = 1. Abl. von f(x) an u: f'(x)=4x <=> f*(u)=4u =m
=> b(x)=4u*(x-u)+2u²+3 = -2u²+4ux+3
- da Steigung einer Geraden (Tangente ist Gerade) konstant, folgt: Steigung von a und b ist gleich
=> a(x)=4u*(x+1)+2 = 4ux+4u+2
- Da a und b die gleiche Gerade (Tangente) beschreiben, folgt a(x)=b(x)
--> 4ux+4u+2 = -2u²+4ux+3
<=> 2u²+4u+1=0
=> u{1/2} = (-4 +- sqrt(16+8)) / 4
<=> u{1/2} = -1 +- sqrt(3/2)
=> u{1} = -1 + sqrt(3/2)
u{2} = -1 - sqrt(3/2)
- u{1} eingesetzt in a(x) mit u=u{1} --> a{u1}(x)=h(x)=x*(-4+sqrt(24)) - 2 + sqrt(24)
sowie mit u{2} eingesetzt in a(x) mit u=u{2} --> a{u2}(x)=k(x)=x*(-4-sqrt(24)) - 2 - sqrt(24)