Tanti modi per vedere le coniche
Le coniche sono un insieme di curve piuttosto complesse che possono essere definite in diversi modi. In questo paragrafo vedremo i vari modi in cui sono definite le coniche, e ne inizieremo a vederne qualcuna. Si tratta solo di una carrellata introduttiva per dare delle definizioni e farci una prima idea: approfondiremo poi le caratteristiche di ogni conica un po' per volta...
DEFINIZIONE ALGEBRICA
Il grafico più semplice che possiamo disegnare su un piano è quello della retta. Infatti abbiamo visto che è la rappresentazione di una equazione di primo grado in due incognite, che nella sua forma più generale è scritta come:
(questa equazione contiene tutti i possibili monomi di grado 1, o inferiore, nelle due lettere e )
Sostituendo ai parametri , e tre valori, otteniamo tutte le possibili rette; ad esempio se , e otteniamo:
In questo caso l'equazione può essere portata in forma esplicita e diventa:
Volendo proseguire questo discorso per rappresentare tutte le possibili equazioni in due incognite di secondo grado, dobbiamo scrivere un'equazione in cui compaiono tutti i monomi di grado 2 o inferiore nelle due incognite e . Inserendo tutte le combinazioni possibili otteniamo l'equazione:
NOTA: ricorda che il grado di un monomio è dato dalla somma dei gradi delle lettere che vi compaiono, quindi è un monomio di secondo grado perché la somma del grado di e quello di è . Questa definizione ha senso se pensiamo che può essere visto come il risultato del prodotto di due monomi di primo grado, e quindi è ragionevole considerarlo di secondo grado.
Sostituendo ai sei parametri in rosso dei valori a scelta (stando attenti a non mettere a zero sia che che , altrimenti non sarà più un'equazione di secondo grado e torneremo ad una retta!) otterremo effettivamente tutte le possibili curve, che cambiano a seconda dei parametri che scegliamo. L'insieme di tutte le possibili curve che troviamo sono chiamate "coniche".
Vediamone alcune
![Una parabola è una delle poche coniche che, almeno in alcune situazioni, può essere rappresentata come FUNZIONE, cioè in modo che ad un valore di input [math]\large{x}[/math] corrisponda un solo valore [math]\large{y}[/math] di output.](https://stage.geogebra.org/resource/rubgvkep/WjarDfWOcp0EHB01/material-rubgvkep.png)
DEFINIZIONE GEOMETRICA
Un'altra caratteristica molto interessante in comune tra tutte le coniche è che sono tutte dei luoghi geometrici, cioè degli insiemi di punti che hanno una caratteristica in comune.
Ogni conica è definita da una sua propria caratteristica che la distingue dalle altre; la più semplice è la circonferenza, che come sappiamo è "l'insieme di tutti i punti che hanno una certa distanza da un punto detto centro". Questa distanza viene chiamata raggio della circonferenza.
Supponiamo per esempio di voler scrivere l'equazione a cui ubbidiscono tutti i punti che hanno distanza dal centro - ti ricordi come si calcola la distanza tra due punti? Vedremo che scrivendo questa condizione e svolgendo i conti otterremo quanto mostrato qui sotto.
MA... PERCHÈ SI CHIAMANO CONICHE?!?
le definizioni date finora non ci spiegano come mai le coniche hanno questo nome.
l motivo è il seguente: se in uno spazio TRIDIMENSIONALE intersechiamo un cono (o meglio un ipercono, perché deve svilupparsi in entrambe le direzioni rispetto al proprio vertice) con un piano, inclinando il piano nei vari possibili modi otteniamo... delle coniche!
Niente paura! presentiamo questo aspetto perché è interessante e ci spiega la ragione di questo nome, ma nei nostri calcoli approfondiremo solo gli altri due approcci!
Osservando l'intersezione tra il piano ed il cono, cioè la linea arancione, puoi vedere come al cambiare dell'inclinazione del cono otteniamo delle curve diverse: i vari tipi di coniche.