복소수의 곱셈
복소수의 곱셈
복소수의 곱셈은 허수단위 를 문자처럼 생각하여 전개하고 임을 이용하여 다음과 같이 계산한다.
일반적으로 복소수의 곱셈은 다음과 같이 계산한다. , , , 가 실수일 때
심화 탐구: 복소수의 절댓값이란 무엇인가?
복소수 에 대해, 의 절댓값은
로 정의한다. 다시 말하면 는 점 (또는 이에 대응하는 복소평면 위의 점 )에서 원점까지의 거리이다.
심화 탐구: 복소수의 극형식이란 무엇인가?
※ 본 내용에 대해 잘 이해하려면 2학년 과목인 대수에서 학습하는 일반각과 호도법, 삼각함수에 대해 알고 있어야 합니다.
복소평면 위에 이 아닌 복소수 (, 는 실수)가 나타내는 점을 , 원점을 라 할 때, 선분 가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 라 하면
,
이므로, 복소수 는 와 같은 꼴로 나타낼 수 있다. 이를 복소수의 극형식이라 한다. 이때, 를 복소수 의 편각이라 하고, 다음과 같이 나타낸다. 의 값은 일반각으로 유일하지 않고, 의 정수배만큼 차이가 난다. 지오지브라에서도 복소수의 편각을 구할 수 있으나, 초과 이하의 값으로 계산되어 나타난다.지오지브라에서 복소수의 절댓값과 편각 구하기 실습
아래 지오지브라 애플릿에는 복소수 가 만들어져 있으며, 복소평면 위에 나타나있다. 입력 부분(+ 표시 옆 칸)에 다음과 같이 입력하여 복소수의 절댓값과 편각을 각각 구해보자.
| z_1 | 또는 abs( z_1 )
arg( z_1 )
복소수 곱셈의 기하적 의미
두 복소수 , 를 곱한 의 크기는 각각의 복소수의 크기를 곱한 값과 같고, 편각은 각각의 복소수의 편각을 더한 값과 같다. 즉, 복소수의 곱셈은 회전(각의 합)과 확대·축소(크기의 곱)로 볼 수 있다.
예를 들어, 복소수 은 크기가 이고, 편각이 이므로 (은 자연수)는 중심이 원점이고, 반지름의 길이가 인 원 위에서 씩 회전하기만 한다. 아래 지오지브라 애플릿에서 주어진 복소수 의 거듭제곱을 구해보며 이와 같은 사실을 확인해보자.