Definition Kegel
- Thema:
- Kegel, Kegelschnitte, Ellipse, Hyberbel, Parabel
Was versteht man bei Kegelschnitten unter einem Kegel? Das ist etwas anders als in der Raumgeometrie Klasse 9/10 (Körper mit Kreis-Grundfläche und Höhe).
Ein Kegel wird hier von einer Geraden als Achse und einer darum rotierenden Geraden m erzeugt, die S als gemeinsamen Punkt haben.
Jede mögliche Lage von m ist eine Mantellinie. Der Winkel α zwischen den beiden Geraden ist der erzeugende Winkel des Kegels. Wir erhalten so einen infiniten hohlen Doppelkegel, der Öffnungswinkel ist dann 2α.
Wenn ein solcher Kegel von einer Ebene geschnitten wird, entsteht als Schnittobjekt eine Kurve, die man Kegelschnitt nennt. Diese Kegelschnitte sollen im Folgenden weiter untersucht werden.
Wenn man die Spur von m einschaltet, bekommt man in der Animation einen besseren räumlichen Eindruck.
Aktivieren Sie die Schaltflächen und beobachten Sie.
Ändern Sie auch α (zwischendurch Spur löschen).
Hinweis 1:
Eigentlich rotiert eine (unbegrenzte) Gerade. Um einen besseren grafischen Effekt zu erhalten, erscheint die Gerade in der Animation abgeschnitten.
Hinweis 2:
Ein Kegel in diesem Sinne ist eine infinite Fläche im Raum, er ist durch eine Gleichung zweiter Ordnung beschrieben.
Er ist also kein massiver Körper mit Volumen, sondern identisch mit seiner Mantelfläche.
Infolgedessen sind die Schnittobjekte dann Kurven zweiter Ordnung, die ebenfalls durch Gleichungen beschrieben werden.
Bei Parabel und Hyperbel ist diese funktionale Sicht als Kurven normal und überrascht nicht.
Bei Ellipse & Kreis ist das allerdings eine Umstellung gegenüber der Sicht der Geometrie Klasse 7-10.
Hinweis 3:
Geht man von einem Kegel als massiven finiten Körper aus, erhält man für Ellipse, Parabel und Hyperbel Schnittflächen, die meist auch noch abgeschnitten, also Segmente sind. Dies ist für das Verständnis der Kegelschnitte nicht hilfreich.
Hinweis 4:
In der deutschen Version von GeoGebra wird der Befehl Kegel sowohl für den finiten massiven Kegel aus der Raumgeometrie der Sekundarstufe I als auch für den infiniten hohlen Doppelkegel genutzt.
In der englischen Version wird (sinnvollerweise) zwischen cone und infinitecone unterschieden.