Polinomios ciclotómicos
El polinomio ciclotómico es el polinomio unitario cuyas raíces son las n-ésimas raíces primitivas de la unidad. Es decir, números complejos como y para 0<k<n.
Primero, las raíces n-ésimas son todas de la forma . Hay exactamente n diferentes alrededor del círculo unitario y k pueden elegirse entre . El polinomio que los cancela a todas a la vez es por tanto , de hecho es de grado n y cancela cada una de las n raíces n-ésimas de la unidad.
Aparte de ±1 que son las únicas raíces reales, las raíces de la unidad vienen en pares conjugados entre sí, uno con una parte imaginaria positiva, el otro negativo, simétricos respecto al eje real. Lo que significa que, en , podemos acoplarlos y hacer que aparezcan factores irreducibles reales
porque y la factorización en polinomios reales irreducibles es, dependiendo de la paridad:
Como cada raíz n-ésima tiene su propio orden tal que , y es una raíz d-ésima primitiva de la unidad para un divisor . Por lo tanto, se cancela mediante . Por el contrario, cualquier raíz d-ésima primitiva de la unidad es también una raíz n-ésima de la unidad dado que , en particular para , luego y . Por lo tanto, el polinomio ciclotómico .
Claramente, una raíz n-ésima tiene un orden único, si d≠e. Por lo tanto, .
Como hay tantas raíces primitivas n-ésimas como números invertibles en , es decir, como hay números primos con n en , el grado de es por tanto , la función indicadora de Euler.
Procediendo de la misma manera para todos los divisores de n, obtenemos la factorización irreducible en de es